Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Isso está dentro do tópico de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual substituição trigonométrica podemos usar. Observando a expressão
, vemos que ela se parece com a forma
. Para integrais desse tipo, uma substituição comum é
. Aqui,
, então
. Então, vamos fazer:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Também, substituindo
na expressão
:
Passo 4
Substituindo tudo de volta na integral original:
Simplificando os termos:
Lembrando que
e
, podemos reescrever a integral em termos de
e
:
Passo 5
Agora, vamos fazer uma substituição para integrar mais facilmente. Seja
, então
. A integral fica:
Substituindo
de volta:
Lembrando que
, podemos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Então:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:
Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:
Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo.
;