Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso está dentro do tópico de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual substituição trigonométrica podemos usar. Observando a expressão , vemos que ela se parece com a forma . Para integrais desse tipo, uma substituição comum é . Aqui, , então . Então, vamos fazer:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Também, substituindo na expressão :

Passo 4

Substituindo tudo de volta na integral original:
Simplificando os termos:
Lembrando que e , podemos reescrever a integral em termos de e :

Passo 5

Agora, vamos fazer uma substituição para integrar mais facilmente. Seja , então . A integral fica:
Substituindo de volta:
Lembrando que , podemos expressar em termos de . Sabemos que:
Então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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