Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
integral raiz4 x^2-9x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso significa que vamos usar funções trigonométricas para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos precisar conhecer identidades trigonométricas básicas e saber como fazer a substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que dentro da raiz temos x = 32 sec theta, que é parecido com a expressão . Para usar a substituição trigonométrica, vamos definir:
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dx = 32 sec theta tan theta , dtheta em relação a para substituir :

Passo 4

Substituindo raiz4(32 sec theta)^2 - 9 = raiz4 cdot 94 sec^2theta - 9 = raiz9 sec^2theta - 9 = raiz9(sec^2theta - 1) = 3 tan theta na expressão :

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral raiz4x^2 - 9x , dx = integral 3 tan theta32 sec theta cdot 32 sec theta tan theta , dtheta = integral 3 tan^2theta , dtheta

Passo 6

Para integrar integral 3 tan^2theta , dtheta = 3 integral (sec^2theta - 1) , dtheta = 3 tan theta - 3 theta + C , lembramos que . Então:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável sec theta = 2x3 e theta = sec^-1(2x3) . Sabemos que , então:
Também,

Passo 8

Substituindo de volta na expressão integrada:
3 tan theta - 3 theta + C = 3 (raiz4x^2 - 93) - 3 sec^-1(2x3) + C = raiz4x^2 - 9 - 3 sec^-1(2x3) + C

Resposta

A integral é igual a .

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