Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma fração polinomial usando o Teorema de Decomposição em Frações Parciais. Isso significa que vamos dividir o numerador pelo denominador e depois quebrar a fração em partes mais simples para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar saber como fatorar polinômios e aplicar a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos graus dos polinômios no numerador e no denominador. O numerador é
(grau 4) e o denominador é
(grau 3). Como o grau do numerador é maior que o do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de prosseguir com as frações parciais.
Passo 3
Vamos dividir
por
. Fazendo a divisão, encontramos:
Agora, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos focar na parte da fração
. Primeiro, precisamos fatorar o denominador. Tentando encontrar raízes do polinômio
, descobrimos que
é uma raiz. Então, podemos fatorar o denominador como:
Passo 5
Agora, usamos a decomposição em frações parciais. Como o denominador fatorado é
, podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 7
Agora que temos
,
e
, nossa decomposição fica:
Podemos simplificar:
Passo 8
Voltando à nossa integral original:
Vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:
Resposta
A integral vale:
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