Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:
integral 2 x^4+7 x^3-x^2-19 x-6x^3+3 x^2-4 x-12 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma fração polinomial usando o Teorema de Decomposição em Frações Parciais. Isso significa que vamos dividir o numerador pelo denominador e depois quebrar a fração em partes mais simples para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar saber como fatorar polinômios e aplicar a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos graus dos polinômios no numerador e no denominador. O numerador é (grau 4) e o denominador é (grau 3). Como o grau do numerador é maior que o do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de prosseguir com as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir 2x^4 + 7x^3 - x^2 -19x -6x^3 + 3x^2 -4x -12 = 2x + 1 + 5x^2 + x +6x^3 + 3x^2 -4x -12 por integral (2x + 1 + 5x^2 + x +6x^3 + 3x^2 -4x -12) dx . Fazendo a divisão, encontramos:
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos focar na parte da fração x^3 + 3x^2 -4x -12 = (x - 2)(x^2 + 5x + 6) = (x - 2)(x + 2)(x + 3) . Primeiro, precisamos fatorar o denominador. Tentando encontrar raízes do polinômio , descobrimos que é uma raiz. Então, podemos fatorar o denominador como:

Passo 5

Agora, usamos a decomposição em frações parciais. Como o denominador fatorado é 5x^2 + x +6(x - 2)(x + 2)(x + 3) = Ax - 2 + Bx + 2 + Cx + 3 , podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 5x^2 + x +6 = A(x + 2)(x + 3) + B(x - 2)(x + 3) + C(x - 2)(x + 2) para eliminar os denominadores, temos:
5(2)^2 + 2 +6 = A(4)(5) Rightarrow 20 + 2 +6 = 20A Rightarrow 28 = 20A Rightarrow A = 2820 = 75
Agora, vamos escolher valores de 5(-2)^2 + (-2) +6 = B(-4)(1) Rightarrow 20 -2 +6 = -4B Rightarrow 24 = -4B Rightarrow B = -6 que simplificam a equação:
  • Para 5(-3)^2 + (-3) +6 = C(-5)(-1) Rightarrow 45 -3 +6 = 5C Rightarrow 48 = 5C Rightarrow C = 485 :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora que temos 5x^2 + x +6(x - 2)(x + 2)(x + 3) = 75x - 2 + -6x + 2 + 485x + 3 , = 75(x - 2) - 6x + 2 + 485(x + 3) e , nossa decomposição fica:
Podemos simplificar:

Passo 8

Voltando à nossa integral original:
integral (2x + 1 + 75(x - 2) - 6x + 2 + 485(x + 3)) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral 2x , dx + integral 1 , dx + 75 integral 1x - 2 , dx - 6 integral 1x + 2 , dx + 485 integral 1x + 3 , dx
Integrando cada termo:
= x^2 + x + 75 ln|x - 2| - 6 ln|x + 2| + 485 ln|x + 3| + C

Resposta

A integral vale:
x^2 + x + 75 ln|x - 2| - 6 ln|x + 2| + 485 ln|x + 3| + C

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