Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma fração polinomial usando o Teorema de Decomposição em Frações Parciais. Isso significa que vamos dividir o numerador pelo denominador e depois quebrar a fração em partes mais simples para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar saber como fatorar polinômios e aplicar a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos graus dos polinômios no numerador e no denominador. O numerador é (grau 4) e o denominador é (grau 3). Como o grau do numerador é maior que o do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de prosseguir com as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir por . Fazendo a divisão, encontramos:
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos focar na parte da fração . Primeiro, precisamos fatorar o denominador. Tentando encontrar raízes do polinômio , descobrimos que é uma raiz. Então, podemos fatorar o denominador como:

Passo 5

Agora, usamos a decomposição em frações parciais. Como o denominador fatorado é , podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora que temos , e , nossa decomposição fica:
Podemos simplificar:

Passo 8

Voltando à nossa integral original:
Vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:

Resposta

A integral vale:

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