Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A integral é:
Para resolver isso usando o Teorema de Decomposição em Frações Parciais, precisamos primeiro verificar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O numerador é de 5º grau e o denominador é de 3º grau. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, vamos começar realizando uma divisão polinomial para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador:
Dividendo:
Divisor:
Vamos encontrar o quociente dessa divisão:
  1. Quanto é dividido por ? É .
  2. Multiplicamos pelo divisor: .
  3. Subtraímos esse resultado do dividendo:
  1. Agora, repetimos o processo com o novo dividendo :
  • dividido por é .
  • Multiplicamos pelo divisor: .
  • Subtraímos:
Assim, a divisão nos dá:
Portanto, podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte da integral:
Essa é uma integral simples. Integrando termo a termo:
Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda parte:
Precisamos decompor essa fração em frações parciais. Primeiro, vamos tentar fatorar o denominador .
Tentando encontrar raízes do denominador pelo método de tentativa e erro:
Testando :
Portanto, é uma raiz, e assim é um fator do denominador.
Vamos dividir o denominador por para encontrar os outros fatores.
Dividendo:
Divisor:
Usando divisão polinomial:
  1. dividido por é .
  2. Multiplicamos por : .
  3. Subtraímos: .
  4. dividido por é .
  5. Multiplicamos por : .
  6. Subtraímos: .
  7. dividido por é .
  8. Multiplicamos por : .
  9. Subtraímos: .
Então,
Portanto, a fração original fica:

Passo 5

Vamos agora fazer a Decomposição em Frações Parciais dessa fração:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações para encontrar , e :
Temos:
Substituindo na segunda equação:
çã
Agora, da terceira equação:
çã
Temos agora o sistema:
Subtraindo a Equação 2.1 da Equação 3:
Agora, substituindo em :
E substituindo na Equação 3:
Portanto, encontramos:

Passo 7

Substituindo os valores de , e na decomposição:
Simplificando:

Passo 8

Agora, voltamos à integral original, que ficou dividida em duas partes:
Já resolvemos a primeira parte. Vamos agora integrar as frações:

Passo 9

Integrando a primeira fração:
Onde é outra constante de integração.

Passo 10

Agora, integrando a segunda fração:
Vamos completar o quadrado no denominador:
Assim, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição:
Seja , então .
Substituindo:
Integrando termo a termo:
  1. :
    Seja , então , ou .
    Então:
  2. :
    Isso é uma integral básica que resulta em:
Portanto, a integral completa é:
Voltando para :

Passo 11

Agora, juntando todas as partes integradas:
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo:
Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo. ;
Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo.