Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:
integral x^5-x^4+4 x^3+7 x^2-2 x+13x^3-x^2+3 x+5 d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A integral é:
integral x^5 -x^4 +4 x^3+7 x^2-2 x+13x^3 -x^2+3 x+5 , dx
Para resolver isso usando o Teorema de Decomposição em Frações Parciais, precisamos primeiro verificar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O numerador é de 5º grau e o denominador é de 3º grau. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, vamos começar realizando uma divisão polinomial para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador:
Dividendo: (x^5 - x^4 + 4x^3 + 7x^2 - 2x + 13) - (x^5 - x^4 + 3x^3 + 5x^2) &= 0 + 0 + x^3 + 2x^2 - 2x + 13
Divisor: (x^3 + 2x^2 - 2x + 13) - (x^3 - x^2 + 3x + 5) &= 0 + 3x^2 - 5x + 8
Vamos encontrar o quociente dessa divisão:
  1. Quanto é x^5 - x^4 +4 x^3+7 x^2-2 x+13 = (x^2 + 1)(x^3 - x^2 +3 x+5) + 3x^2 -5x +8 dividido por integral x^5 -x^4 +4 x^3+7 x^2-2 x+13x^3 -x^2+3 x+5 , dx = integral (x^2 +1) , dx + integral 3x^2 -5x +8x^3 -x^2+3 x+5 , dx ? É .
  2. Multiplicamos pelo divisor: .
  3. Subtraímos esse resultado do dividendo:
  1. Agora, repetimos o processo com o novo dividendo :
  • dividido por é .
  • Multiplicamos pelo divisor: .
  • Subtraímos:
Assim, a divisão nos dá:
Portanto, podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte da integral:
integral (x^2 +1) , dx
Essa é uma integral simples. Integrando termo a termo:
integral x^2 , dx = x^33, integral 1 , dx = x
Então:
integral (x^2 +1) , dx = x^33 + x + C1
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda parte:
integral 3x^2 -5x +8x^3 -x^2+3 x+5 , dx
Precisamos decompor essa fração em frações parciais. Primeiro, vamos tentar fatorar o denominador (-1)^3 - (-1)^2 + 3(-1) +5 = -1 -1 -3 +5 = 0 .
Tentando encontrar raízes do denominador pelo método de tentativa e erro:
Testando x^3 -x^2+3x+5 = (x +1)(x^2 -2x +5) :
3x^2 -5x +8(x +1)(x^2 -2x +5)
Portanto, é uma raiz, e assim é um fator do denominador.
Vamos dividir o denominador por para encontrar os outros fatores.
Dividendo:
Divisor:
Usando divisão polinomial:
  1. dividido por é .
  2. Multiplicamos por : .
  3. Subtraímos: .
  4. dividido por é .
  5. Multiplicamos por : .
  6. Subtraímos: .
  7. dividido por é .
  8. Multiplicamos por : .
  9. Subtraímos: .
Então,
Portanto, a fração original fica:

Passo 5

Vamos agora fazer a Decomposição em Frações Parciais dessa fração:
3x^2 -5x +8(x +1)(x^2 -2x +5) = Ax +1 + Bx +Cx^2 -2x +5
Multiplicando ambos os lados por 3x^2 -5x +8 = A(x^2 -2x +5) + (Bx +C)(x +1) para eliminar os denominadores:
3x^2 -5x +8 = A x^2 -2A x +5A + B x^2 + Bx + Cx + C
Expandindo o lado direito:
3x^2 -5x +8 = (A + B)x^2 + (-2A + B + C)x + (5A + C)
Agrupando os termos semelhantes:
A + B = 3
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para -2A + B + C = -5 : 5A + C = 8
  2. Para :
  3. Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações para encontrar -2A + (3 - A) + C = -5 -3A + 3 + C = -5 -3A + C = -8 (Equação 2.1) , 5A + C = 8 (Equação 3) e -3A + C = -8 5A + C = 8 :
Temos:
  1. (5A + C) - (-3A + C) = 8 - (-8) 5A + C +3A - C = 16 8A = 16 A = 2 B = 3 - 2 = 1
  2. 5(2) + C = 8 10 + C = 8 C = -2
  3. A = 2, B = 1, C = -2
Substituindo na segunda equação:
çã
Agora, da terceira equação:
çã
Temos agora o sistema:
Subtraindo a Equação 2.1 da Equação 3:
Agora, substituindo em :
E substituindo na Equação 3:
Portanto, encontramos:

Passo 7

Substituindo os valores de 3x^2 -5x +8(x +1)(x^2 -2x +5) = 2x +1 + (1)x -2x^2 -2x +5 , 3x^2 -5x +8x^3 -x^2+3x+5 = 2x +1 + x -2x^2 -2x +5 e na decomposição:
Simplificando:

Passo 8

Agora, voltamos à integral original, que ficou dividida em duas partes:
integral (x^2 +1) , dx + integral ( 2x +1 + x -2x^2 -2x +5 ) , dx
Já resolvemos a primeira parte. Vamos agora integrar as frações:

Passo 9

Integrando a primeira fração:
integral 2x +1 , dx = 2 ln|x +1| + C2
Onde é outra constante de integração.

Passo 10

Agora, integrando a segunda fração:
integral x -2x^2 -2x +5 , dx
Vamos completar o quadrado no denominador:
x^2 -2x +5 = (x^2 -2x +1) +4 = (x -1)^2 +4
Assim, a integral fica:
integral x -2(x -1)^2 +4 , dx
Vamos fazer uma substituição:
Seja integral (u +1) -2u^2 +4 , du = integral u -1u^2 +4 , du = integral uu^2 +4 , du - integral 1u^2 +4 , du , então integral uu^2 +4 , du = 12 ln|u^2 +4| + C3 .
Substituindo:
12 arctan(u2) + C4
Integrando termo a termo:
  1. 12 ln(u^2 +4) - 12 arctan(u2) + C :
    Seja 12 ln((x -1)^2 +4) - 12 arctan(x -12) + C5 , então , ou .
    Então:
  2. :
    Isso é uma integral básica que resulta em:
Portanto, a integral completa é:
Voltando para :

Passo 11

Agora, juntando todas as partes integradas:
integral x^5 -x^4 +4 x^3+7 x^2-2 x+13x^3 -x^2+3 x+5 , dx = x^33 + x + 2 ln|x +1| + 12 ln((x -1)^2 +4) - 12 arctan(x -12) + C
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

A integral é igual a:
x^33 + x + 2 ln|x +1| + 12 ln((x -1)^2 +4) - 12 arctan(x -12) + C
onde é a constante de integração.

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