Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. A integral é:
Para resolver isso usando o Teorema de Decomposição em Frações Parciais, precisamos primeiro verificar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O numerador é de 5º grau e o denominador é de 3º grau. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, vamos começar realizando uma divisão polinomial para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador:
Dividendo:
Divisor:
Vamos encontrar o quociente dessa divisão:
- Quanto é
dividido por ? É . - Multiplicamos
pelo divisor: . - Subtraímos esse resultado do dividendo:
- Agora, repetimos o processo com o novo dividendo
:
-
dividido por é . - Multiplicamos
pelo divisor: . - Subtraímos:
Assim, a divisão nos dá:
Portanto, podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Vamos resolver a primeira parte da integral:
Essa é uma integral simples. Integrando termo a termo:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda parte:
Precisamos decompor essa fração em frações parciais. Primeiro, vamos tentar fatorar o denominador
.
Tentando encontrar raízes do denominador pelo método de tentativa e erro:
Testando
:
Portanto,
é uma raiz, e assim
é um fator do denominador.
Vamos dividir o denominador por
para encontrar os outros fatores.
Dividendo:
Divisor:
Usando divisão polinomial:
-
dividido por é . - Multiplicamos
por : . - Subtraímos:
. -
dividido por é . - Multiplicamos
por : . - Subtraímos:
. -
dividido por é . - Multiplicamos
por : . - Subtraímos:
.
Então,
Portanto, a fração original fica:
Passo 5
Vamos agora fazer a Decomposição em Frações Parciais dessa fração:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações para encontrar
,
e
:
Temos:
-
→ -
-
Substituindo
na segunda equação:
Agora, da terceira equação:
Temos agora o sistema:
Subtraindo a Equação 2.1 da Equação 3:
Agora, substituindo
em
:
E substituindo
na Equação 3:
Portanto, encontramos:
Passo 7
Substituindo os valores de
,
e
na decomposição:
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltamos à integral original, que ficou dividida em duas partes:
Já resolvemos a primeira parte. Vamos agora integrar as frações:
Passo 9
Integrando a primeira fração:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 10
Agora, integrando a segunda fração:
Vamos completar o quadrado no denominador:
Assim, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição:
Seja
, então
.
Substituindo:
Integrando termo a termo:
-
: Seja, então , ou . Então: -
: Isso é uma integral básica que resulta em:
Portanto, a integral completa é:
Voltando para
:
Passo 11
Agora, juntando todas as partes integradas:
Onde
é a constante geral de integração.
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.
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Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo.
;
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