Calcule as integrais abaixo. integral duplaB x cos (2 y) d x d y onde B=(x, y) / 0 <= x <= raizy e-pi4 <= y <= pi4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaB x cos (2 y) , dx , dy, onde a região de integração B é definida por 0 <= x <= raizy e -pi4 <= y <= pi4. Vamos precisar de conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas, e entender como definir os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. A condição 0 <= x <= raizy implica que y precisa ser maior ou igual a 0, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real. Portanto, ajustamos o intervalo de y para 0 <= y <= pi4.

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral dupla com os limites ajustados:
integral duplaB x cos (2 y) , dx , dy = integral0^pi4 integral0^raizy x cos (2 y) , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a x. Como cos(2y) é constante em relação a x, podemos integrá-la diretamente:
integral0^raizy x cos (2 y) , dx = cos(2y) integral0^raizy x , dx

Passo 5

Calculando a integral de x:
integral0^raizy x , dx = [ x^22 ]0^raizy = (raizy)^22 - 0 = y2
Portanto,
integral0^raizy x cos (2 y) , dx = y2 cos(2y)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi4 y2 cos(2y) , dy = 12 integral0^pi4 y cos(2y) , dy

Passo 7

Para resolver integral y cos(2y) , dy, usamos a técnica de integração por partes, onde:
  • u = y Rightarrow du = dy
  • dv = cos(2y) , dy Rightarrow v = sin(2y)2
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du):
integral y cos(2y) , dy = y cdot sin(2y)2 - integral sin(2y)2 , dy = y sin(2y)2 + cos(2y)4 + C

Passo 8

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a pi4:
12 [ y sin(2y)2 + cos(2y)4 ]0^pi4 = 12 ( ( pi4 sin(pi2)2 + cos(pi2)4 ) - ( 0 + cos(0)4 ) )
Simplificando:
= 12 ( pi4 cdot 12 + 04 - 14 ) = 12 ( pi8 - 14 )

Resposta

A integral dupla vale pi16 - 18.

Exercícios relacionados