Calcule as integrais abaixo. onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde a região de integração é definida por e . Vamos precisar de conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas, e entender como definir os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição implica que precisa ser maior ou igual a 0, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real. Portanto, ajustamos o intervalo de para .

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral dupla com os limites ajustados:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a . Como é constante em relação a , podemos integrá-la diretamente:

Passo 5

Calculando a integral de :
Portanto,

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 7

Para resolver , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 8

Agora, avaliamos a integral definida de a :
Simplificando:

Resposta

A integral dupla vale .

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