Calcule as integrais abaixo.
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde a região de integração
é definida por
e
. Vamos precisar de conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas, e entender como definir os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A condição
implica que
precisa ser maior ou igual a 0, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real. Portanto, ajustamos o intervalo de
para
.
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral dupla com os limites ajustados:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Como
é constante em relação a
, podemos integrá-la diretamente:
Passo 5
Calculando a integral de
:
Portanto,
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Passo 8
Agora, avaliamos a integral definida de
a
:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla vale
.
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para a função definida por
Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
;
Calcule as integrais abaixo.
onde
e
.
Considere o sólido
Descreva
em coordenadas esféricas e cálcule volume de
. Faça um esboço do sólido