Considere o sólido
E = {(x, y, z) | x >= 0, y >= 0, raiz(x^2 + y^2) <= z e x^2 + y^2 + z^2 <= 1}
Descreva E em coordenadas esféricas e cálcule volume de E. Faça um esboço do sólido E

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente descrever o sólido E usando coordenadas esféricas e calcular o volume dele. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria espacial e como funciona o sistema de coordenadas esféricas. Vamos dividir a resolução em passos bem claros para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as coordenadas esféricas. Nesse sistema, um ponto no espaço é representado por três valores:
  • rho: a distância do ponto até a origem.
  • theta: o ângulo no plano xy a partir do eixo x (como nas coordenadas polares).
  • phi: o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
As relações com as coordenadas cartesianas (x, y, z) são:

Passo 3

Agora, vamos analisar as condições que definem o sólido E:
  1. x >= 0 e y ≥ 0: Isso significa que estamos no primeiro octante, onde tanto x quanto y são positivos. Em coordenadas esféricas, isso implica que theta varia de 0 a pi / 2.
  2. : Vamos converter essa inequação para coordenadas esféricas.
    Então, a condição fica:
  3. x^2 + y^2 + z^2 <= 1: Isso define uma esfera de raio 1. Em coordenadas esféricas, isso simplesmente significa que .

Passo 4

Então, resumindo os limites para as coordenadas esféricas:
  • rho: de 0 a 1.
  • theta: de 0 a pi / 2.
  • phi: de 0 a pi/4.

Passo 5

Para calcular o volume, usamos o elemento de volume em coordenadas esféricas:
Então, a integral para o volume V de E será:

Passo 6

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a phi:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta:

Passo 9

Agora, multiplicamos os resultados das integrais para obter o volume total:

Resposta

O volume do sólido E é:

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