Considere o sólido
Descreva
em coordenadas esféricas e cálcule volume de
. Faça um esboço do sólido
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente descrever o sólido
usando coordenadas esféricas e calcular o volume dele. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria espacial e como funciona o sistema de coordenadas esféricas. Vamos dividir a resolução em passos bem claros para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as coordenadas esféricas. Nesse sistema, um ponto no espaço é representado por três valores:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo no plano xy a partir do eixo x (como nas coordenadas polares). -
: o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
As relações com as coordenadas cartesianas
são:
Passo 3
Agora, vamos analisar as condições que definem o sólido
:
-
e : Isso significa que estamos no primeiro octante, onde tanto x quanto y são positivos. Em coordenadas esféricas, isso implica que varia de a . -
: Vamos converter essa inequação para coordenadas esféricas. Então, a condição fica: -
-
: Isso define uma esfera de raio 1. Em coordenadas esféricas, isso simplesmente significa que .
Passo 4
Então, resumindo os limites para as coordenadas esféricas:
-
: de a . -
: de a . -
: de a .
Passo 5
Para calcular o volume, usamos o elemento de volume em coordenadas esféricas:
Então, a integral para o volume
de
será:
Passo 6
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, multiplicamos os resultados das integrais para obter o volume total:
Resposta
O volume do sólido
é: