Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que são ferramentas matemáticas que ajudam a determinar se a soma infinita de termos vai chegar a um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série: . Temos um termo alternado por causa do , mas também temos uma expressão que envolve potências de 3 e de n. Nosso objetivo é descobrir se essa soma totaliza algo finito (converge) ou se fica sem limites (diverge).
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Raiz, que é muito útil para séries com termos elevados a potências de n. Esse teste funciona assim: calculamos a raiz enésima do valor absoluto do termo geral da série e analisamos o limite quando n tende ao infinito.
Então, vamos calcular:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
À medida que n cresce, tende a zero, então:
Passo 4
Segundo o Teste da Raiz, se o limite calculado for menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, o limite é 0, que é definitivamente menor que 1. Isso significa que a série não apenas converge, mas converge absolutamente, ou seja, mesmo se ignorarmos o sinal alternado, a série ainda assim somaria para um número finito.