Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty(-1)^n 3^2 n+1n^2 n;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que são ferramentas matemáticas que ajudam a determinar se a soma infinita de termos vai chegar a um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série: . Temos um termo alternado por causa do , mas também temos uma expressão que envolve potências de 3 e de n. Nosso objetivo é descobrir se essa soma totaliza algo finito (converge) ou se fica sem limites (diverge).

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz, que é muito útil para séries com termos elevados a potências de n. Esse teste funciona assim: calculamos a raiz enésima do valor absoluto do termo geral da série e analisamos o limite quando n tende ao infinito.
Então, vamos calcular:
limn to infty raiz[n]| (-1)^n 3^2n+1n^2n | = limn to infty raiz[n]3^2n+1n^2n
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz[n]3^2n+1n^2n = 3^2 + 1nn^2
À medida que n cresce, limn to infty 3^2 + 1nn^2 = limn to infty 9 cdot 3^1nn^2 = limn to infty 9 cdot 1n^2 = 0 tende a zero, então:

Passo 4

Segundo o Teste da Raiz, se o limite calculado for menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, o limite é 0, que é definitivamente menor que 1. Isso significa que a série não apenas converge, mas converge absolutamente, ou seja, mesmo se ignorarmos o sinal alternado, a série ainda assim somaria para um número finito.

Resposta

A série é convergente.

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