Calcule as integrais abaixo. integral duplaB x y e^x^2-y^2 d x d y onde B=(x, y) / 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla, que é tipo uma integral que envolve duas variáveis, nesse caso, e . A região de integração, chamada , está definida onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 3. Vamos usar conceitos de integrais duplas e propriedades de funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: x y e^x^2 - y^2 = x e^x^2 cdot y e^-y^2 . Podemos reescrever essa função separando os termos que envolvem dos que envolvem . Assim:
Isso nos permite separar a integral dupla em duas integrais simples multiplicadas entre si.

Passo 3

Agora, vamos separar a integral dupla em duas integrais simples:
integral duplaB x y e^x^2 - y^2 , dx , dy = ( integral0^1 x e^x^2 , dx ) cdot ( integral0^3 y e^-y^2 , dy )

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral: integral x e^x^2 , dx = 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^x^2 + C .
Aqui, usamos a substituição 12 e^x^2 |0^1 = 12 e^1 - 12 e^0 = 12 e - 12 = e - 12 , então ou .
Substituindo na integral:
Avaliando de 0 a 1:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral y e^-y^2 , dy = -12 integral e^v , dv = -12 e^v + C = -12 e^-y^2 + C .
Aqui, usamos a substituição -12 e^-y^2 |0^3 = -12 e^-9 + 12 e^0 = -12 e^-9 + 12 = 1 - e^-92 , então ou .
Substituindo na integral:
Avaliando de 0 a 3:

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais:
e - 12 cdot 1 - e^-92 = (e - 1)(1 - e^-9)4
Então, o valor da integral dupla é:
(e - 1)(1 - e^-9)4

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