Calcule as integrais abaixo. onde e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla, que é tipo uma integral que envolve duas variáveis, nesse caso, e . A região de integração, chamada , está definida onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 3. Vamos usar conceitos de integrais duplas e propriedades de funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . Podemos reescrever essa função separando os termos que envolvem dos que envolvem . Assim:
Isso nos permite separar a integral dupla em duas integrais simples multiplicadas entre si.

Passo 3

Agora, vamos separar a integral dupla em duas integrais simples:

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral: .
Aqui, usamos a substituição , então ou .
Substituindo na integral:
Avaliando de 0 a 1:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: .
Aqui, usamos a substituição , então ou .
Substituindo na integral:
Avaliando de 0 a 3:

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais:
Então, o valor da integral dupla é:

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