Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla, que é tipo uma integral que envolve duas variáveis, nesse caso, e . A região de integração, chamada , está definida onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 3. Vamos usar conceitos de integrais duplas e propriedades de funções exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . Podemos reescrever essa função separando os termos que envolvem dos que envolvem . Assim:
Isso nos permite separar a integral dupla em duas integrais simples multiplicadas entre si.
Passo 3
Agora, vamos separar a integral dupla em duas integrais simples:
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral: .
Aqui, usamos a substituição , então ou .
Substituindo na integral:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral: integral y e^-y^2 , dy = -12 integral e^v , dv = -12 e^v + C = -12 e^-y^2 + C .
Aqui, usamos a substituição -12 e^-y^2 |0^3 = -12 e^-9 + 12 e^0 = -12 e^-9 + 12 = 1 - e^-92 , então ou .