Encontre uma representação em série de potências em torno de para a função definida por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de . Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e algumas manhas de cálculo. 😊

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Basicamente, é uma soma infinita de termos da forma , onde são os coeficientes e é o centro da série. No nosso caso, , então a série fica mais simples: .

Passo 3

Agora, para encontrar essa série para , vamos usar uma técnica que envolve derivar e integrar séries. Sabemos que a derivada de é:

Passo 4

A função é uma série geométrica conhecida:

Passo 5

Então, substituindo na derivada de , temos:

Passo 6

Para encontrar , precisamos integrar . Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Integrando cada termo:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Como , podemos encontrar :

Passo 9

Portanto, a série de potências para é:

Resposta

A representação em série de potências para em torno de é:

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Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Calcule as integrais abaixo. onde .
Calcule as integrais abaixo. onde e .