Encontre uma representação em série de potências em torno de
para a função definida por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função
em torno de
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e algumas manhas de cálculo. 😊
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Basicamente, é uma soma infinita de termos da forma
, onde
são os coeficientes e
é o centro da série. No nosso caso,
, então a série fica mais simples:
.
Passo 3
Agora, para encontrar essa série para
, vamos usar uma técnica que envolve derivar e integrar séries. Sabemos que a derivada de
é:
Passo 4
A função
é uma série geométrica conhecida:
Passo 5
Então, substituindo na derivada de
, temos:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos integrar
. Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Integrando cada termo:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Como
, podemos encontrar
:
Passo 9
Portanto, a série de potências para
é:
Resposta
A representação em série de potências para
em torno de
é:
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Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
;
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.
Calcule as integrais abaixo.
onde
.
Calcule as integrais abaixo.
onde
e
.