Supondo densidade de massa do ponto é proporcional a distância de ao eixo , com constante de proporcionalidade , determine a massa desse sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa de um sólido definido por certas condições no espaço tridimensional. O conteúdo principal aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais triplas, e o uso de coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como a densidade varia dentro do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sólido . Ele é definido pelas condições:
e : isso limita nosso sólido ao primeiro octante do espaço.
: indica que é pelo menos a distância radial no plano .
: isso significa que o sólido está dentro de uma esfera de raio 1.
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
O elemento de volume
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração nas coordenadas cilíndricas:
Como estamos no primeiro octante, varia de a .
O raio varia de até onde permite, mas considerando a equação da esfera , temos .
Além disso, temos , que em coordenadas cilíndricas é .
Portanto, para cada , varia de até .
Passo 4
A densidade do ponto é proporcional à distância desse ponto ao eixo . A distância ao eixo em coordenadas cilíndricas é simplesmente . Então, a densidade é:
Com , então:
Passo 5
Agora, vamos expressar a massa do sólido como uma integral tripla:
Passo 6
Substituindo os limites de integração que determinamos:
Note que vem da equação da esfera.
Passo 7
Vamos integrar em relação a primeiro:
Passo 8
Agora, a integral se torna:
Reduzimos os limites de para porque para , , o que não satisfaz .
Passo 9
Vamos integrar em relação a :
Essas integrais podem ser resolvidas por substituição.
Passo 10
Calculando as integrais:
Aplicando os limites de a :
E:
Então, a integral em é:
Passo 11
Agora, integraremos em relação a :
Passo 12
Calculando os valores numéricos:
Como massa não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A massa do sólido é aproximadamente unidades de massa.