Considere o sólido
Supondo densidade de massa do ponto é proporcional a distância de ao eixo , com constante de proporcionalidade , determine a massa desse sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa de um sólido definido por certas condições no espaço tridimensional. O conteúdo principal aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais triplas, e o uso de coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como a densidade varia dentro do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sólido . Ele é definido pelas condições:
  • e : isso limita nosso sólido ao primeiro octante do espaço.
  • : indica que é pelo menos a distância radial no plano .
  • : isso significa que o sólido está dentro de uma esfera de raio 1.
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
  • O elemento de volume

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração nas coordenadas cilíndricas:
  • Como estamos no primeiro octante, varia de a .
  • O raio varia de até onde permite, mas considerando a equação da esfera , temos .
  • Além disso, temos , que em coordenadas cilíndricas é .
Portanto, para cada , varia de até .

Passo 4

A densidade do ponto é proporcional à distância desse ponto ao eixo . A distância ao eixo em coordenadas cilíndricas é simplesmente . Então, a densidade é:
Com , então:

Passo 5

Agora, vamos expressar a massa do sólido como uma integral tripla:

Passo 6

Substituindo os limites de integração que determinamos:
Note que vem da equação da esfera.

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 8

Agora, a integral se torna:
Reduzimos os limites de para porque para , , o que não satisfaz .

Passo 9

Vamos integrar em relação a :
Essas integrais podem ser resolvidas por substituição.

Passo 10

Calculando as integrais:
Aplicando os limites de a :
E:
Então, a integral em é:

Passo 11

Agora, integraremos em relação a :

Passo 12

Calculando os valores numéricos:
Como massa não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A massa do sólido é aproximadamente unidades de massa.

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