Calcule as integrais abaixo:
, onde
.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Para resolver essa integral, vamos usar o conceito de integração iterada em cálculo integral, que nos permite avaliar integrais duplas dividindo-as em integrais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
para entender os limites de integração. A desigualdade
indica que, para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
até 1.
No entanto, para facilitar a integração, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que primeiro vamos integrar em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Com a ordem de integração invertida, os limites ficam da seguinte forma:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 a (já que implica ).
Assim, a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Isso simplifica a integral dupla para:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral:
Faremos uma substituição para simplificar. Seja:
Substituindo na integral, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Resposta
A integral dupla é igual a
.