Calcule as integrais abaixo: integral duplaR raizx^3+1 d A, onde R=(x, y) in R^2 ; raizy <= x <= 1,0 <= y <= 1.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Para resolver essa integral, vamos usar o conceito de integração iterada em cálculo integral, que nos permite avaliar integrais duplas dividindo-as em integrais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região para entender os limites de integração. A desigualdade indica que, para cada valor de entre 0 e 1, varia de até 1.
No entanto, para facilitar a integração, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que primeiro vamos integrar em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Com a ordem de integração invertida, os limites ficam da seguinte forma:
  • integral0^1 ( integral0^x^2 raizx^3 + 1 , dy ) dx varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a (já que implica ).
Assim, a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^x^2 raizx^3 + 1 , dy = raizx^3 + 1 cdot integral0^x^2 dy = raizx^3 + 1 cdot x^2 :
integral0^1 x^2 raizx^3 + 1 , dx
Isso simplifica a integral dupla para:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral:
integral0^1 x^2 raizx^3 + 1 , dx
Faremos uma substituição para simplificar. Seja:
u = x^3 + 1 Rightarrow du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du3
Substituindo na integral, temos:
13 integralu(0)^u(1) raizu , du = 13 integral1^2 u^1/2 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar 13 cdot [ 23 u^3/2 ]1^2 = 29 ( 2^3/2 - 1^3/2 ) = 29 ( 2raiz2 - 1 ) :

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados