Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo: r(t) = (cos(t), sen(t), t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a velocidade das curvas parametrizadas pela função . Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, onde vamos precisar saber como encontrar a velocidade a partir de uma função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade de uma curva parametrizada. A velocidade é basicamente a derivada da função posição em relação ao tempo . Ou seja, se nos dá a posição em cada instante , a derivada nos dá quão rápido essa posição está mudando, ou seja, a velocidade.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de cada componente da função . A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada uma das suas componentes individualmente.
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, aplicando isso:

Passo 4

Pronto! Encontramos a função que representa a velocidade da curva parametrizada . Cada componente de nos indica a velocidade nas direções , e , respectivamente.

Resposta

A velocidade da curva parametrizada é .

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