Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a velocidade das curvas parametrizadas pela função
. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, onde vamos precisar saber como encontrar a velocidade a partir de uma função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade de uma curva parametrizada. A velocidade é basicamente a derivada da função posição
em relação ao tempo
. Ou seja, se
nos dá a posição em cada instante
, a derivada
nos dá quão rápido essa posição está mudando, ou seja, a velocidade.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de cada componente da função
. A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada uma das suas componentes individualmente.
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, aplicando isso:
Passo 4
Pronto! Encontramos a função que representa a velocidade da curva parametrizada
. Cada componente de
nos indica a velocidade nas direções
,
e
, respectivamente.
Resposta
A velocidade da curva parametrizada é
.
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Determine o volume do sólido: limitado pelos cilindros
e
.
Calcule as integrais abaixo:
, onde
.
Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo:
Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo: