Determine o volume do sólido: limitado pelos cilindros x^2 + y^2 = r^2 e z^2 + y^2 = r^2.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício de geometria envolvendo cilindros. A missão é encontrar o volume do sólido formado pela interseção de dois cilindros dados pelas equações e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e a geometria dos sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os cilindros. O primeiro cilindro está alinhado ao longo do eixo z, e o segundo está alinhado ao longo do eixo x. A interseção desses cilindros forma um sólido conhecido como sólido de Steinmetz.

Passo 3

O próximo passo é escolher uma coordinate system que facilite os cálculos. Como os cilindros são simétricos em relação ao eixo y, podemos integrar ao longo desse eixo. O volume do sólido pode ser encontrado dobrando a integral em um quarto do espaço devido à simetria.

Passo 4

Vamos estabelecer os limites de integração. Para cada valor de , varia de a , e varia de a .

Passo 5

Configurando a integral dupla para calcular o volume, temos:

Passo 6

Resolvendo a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:

Passo 8

Resolvendo a integral:

Resposta

O volume do sólido é .

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