Determine o volume do sólido: limitado pelos cilindros
e
.
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício de geometria envolvendo cilindros. A missão é encontrar o volume do sólido formado pela interseção de dois cilindros dados pelas equações
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e a geometria dos sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os cilindros. O primeiro cilindro
está alinhado ao longo do eixo z, e o segundo
está alinhado ao longo do eixo x. A interseção desses cilindros forma um sólido conhecido como sólido de Steinmetz.
Passo 3
O próximo passo é escolher uma coordinate system que facilite os cálculos. Como os cilindros são simétricos em relação ao eixo y, podemos integrar ao longo desse eixo. O volume
do sólido pode ser encontrado dobrando a integral em um quarto do espaço devido à simetria.
Passo 4
Vamos estabelecer os limites de integração. Para cada valor de
,
varia de
a
, e
varia de
a
.
Passo 5
Configurando a integral dupla para calcular o volume, temos:
Passo 6
Resolvendo a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
, onde
.
Determine o volume do sólido: abaixo do plano
e acima do disco
.
Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo:
Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo: