Determine o volume do sólido: limitado por
e
.
Passo 1
No enunciado, precisamos determinar o volume de um sólido limitado pelas superfícies
,
,
e
. Vamos utilizar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região no plano
limitada por
e
. Para isso, encontramos os pontos de interseção das curvas:
Então, os limites para
são de
a
, e para cada valor de
,
varia de
a
.
Passo 3
O sólido está também limitado por
e
. Isso significa que para cada ponto
na região que definimos,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 5
Substituímos o resultado na integral dupla:
Integramos em relação a
:
Passo 6
Substituímos novamente:
Passo 7
Agora, calculamos a integral em relação a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 8
Multiplicamos pelo fator que ficou fora da integral:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
, onde
.
Calcule as integrais:
, onde
.
Determine o volume do sólido: abaixo do plano
e acima do disco
.
Calcule as integrais abaixo:
, onde
.