Determine o volume do sólido: abaixo do plano z = 2x + 2 e acima do disco x^2 + y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar o volume de um sólido que está abaixo do plano e acima de um disco definido por . Isso envolve cálculo de integrais e geometria espacial. Para resolver, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla usando coordenadas polares, que facilitam trabalhar com regiões circulares como o disco que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que temos: o disco é um círculo com raio 1 no plano xy. O plano é uma superfície inclinada que corta o espaço. Queremos o volume entre esse plano e o disco no plano xy.

Passo 3

Para calcular esse volume, vamos usar uma integral dupla sobre a região do disco. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, e (pois estamos acima do disco no plano xy).

Passo 4

Primeiro, vamos converter essa integral para coordenadas polares, já que o domínio é um círculo. Lembrando que em coordenadas polares:
E o elemento de área se torna . Assim, nossos limites para vão de 0 a 1 (raio do disco) e para de 0 a (uma volta completa).

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Simplificando dentro da integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 7

Agora, integramos esse resultado em relação a :
A integral de de 0 a é zero, e a integral de 1 de 0 a é .

Passo 8

Portanto:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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