Determine o volume do sólido: abaixo do plano
e acima do disco
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa achar o volume de um sólido que está abaixo do plano
e acima de um disco definido por
. Isso envolve cálculo de integrais e geometria espacial. Para resolver, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla usando coordenadas polares, que facilitam trabalhar com regiões circulares como o disco que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que temos: o disco
é um círculo com raio 1 no plano xy. O plano
é uma superfície inclinada que corta o espaço. Queremos o volume entre esse plano e o disco no plano xy.
Passo 3
Para calcular esse volume, vamos usar uma integral dupla sobre a região do disco. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
e
(pois estamos acima do disco no plano xy).
Passo 4
Primeiro, vamos converter essa integral para coordenadas polares, já que o domínio é um círculo. Lembrando que em coordenadas polares:
E o elemento de área
se torna
. Assim, nossos limites para
vão de 0 a 1 (raio do disco) e para
de 0 a
(uma volta completa).
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 7
Agora, integramos esse resultado em relação a
:
A integral de
de 0 a
é zero, e a integral de 1 de 0 a
é
.
Passo 8
Portanto:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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e
.
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, onde
.
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, onde
.
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e
.