Calcule as integrais abaixo:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral dupla , onde a região
é definida por
e
. Isso envolve cálculo integral, especificamente integração em duas variáveis. Vamos precisar usar a técnica de integração iterada, ou seja, integrar primeiro uma variável e depois a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região de integração
. Ela está limitada por
de 0 a 1 e, para cada valor de
,
vai de
até 1. Isso significa que podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em
e depois em
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte interna da integral, que é . Note que
é apenas uma constante em relação a
, então podemos tirá-lo da integral:
Passo 4
A próxima etapa é tentar encontrar a antiderivada de . Infelizmente, não existe uma função elementar que seja antiderivada dessa expressão. Isso significa que não podemos expressar essa integral de forma simples usando funções conhecidas como senos, cossenos, polinômios, etc.
Passo 5
Dado que não podemos encontrar uma antiderivada de forma explícita, a solução para essa integral dupla não será uma expressão fechada. Em vez disso, teríamos que avaliar a integral numericamente ou deixá-la expressa em termos de uma integral definida.
Resposta
A integral dupla não pode ser expressa em termos de funções elementares e permanece representada por:
Para obter um valor numérico, seria necessário avaliar a integral internamente e depois a externa usando métodos numéricos.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
, onde
.
Calcule as integrais:
, onde
.
Determine o volume do sólido: limitado por
e
.
Determine o volume do sólido: abaixo do plano
e acima do disco
.