Calcule as integrais:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. A matéria que vamos usar aqui é integração múltipla, e vamos precisar entender como calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela é um retângulo no plano
com
variando de 0 a 1 e
de 1 a 2. Assim, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
, mantendo
constante. A função que vamos integrar é
. A antiderivada dessa função em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de
de 1 a 2 na antiderivada:
Isso nos dá a expressão simplificada para a integral em relação a
:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente. A antiderivada de
é
. Então:
Passo 7
Aplicando os limites de 0 a 1 em cada antiderivada:
Passo 8
Subtraindo as duas integrais:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Seja
a região delimitada pelo cilindro
, pelo plano
e pelos planos
e
. Seja
a superfície de
. Se
, calcule
.
Se
, ache
.
Calcule as integrais:
, onde
.
Calcule as integrais abaixo:
, onde
.