Calcule as integrais: integral duplaR(x+y)^-2 d A, onde R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . A matéria que vamos usar aqui é integração múltipla, e vamos precisar entender como calcular integrais duplas sobre regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração integralx=0^1 integraly=1^2 1(x + y)^2 , dy , dx . Ela é um retângulo no plano com variando de 0 a 1 e de 1 a 2. Assim, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral 1(x + y)^2 , dy = -1x + y + C , mantendo constante. A função que vamos integrar é . A antiderivada dessa função em relação a é:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de [ -1x + y ]y=1^2 = -1x + 2 + 1x + 1 de 1 a 2 na antiderivada:
1x + 1 - 1x + 2
Isso nos dá a expressão simplificada para a integral em relação a :

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 ( 1x + 1 - 1x + 2 ) , dx de 0 a 1:
integral0^1 1x + 1 , dx - integral0^1 1x + 2 , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente. A antiderivada de integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1| + C é integral 1x + 2 , dx = ln|x + 2| + C . Então:

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 1 em cada antiderivada:
[ ln(x + 1) ]0^1 = ln(2) - ln(1) = ln(2) - 0 = ln(2)
[ ln(x + 2) ]0^1 = ln(3) - ln(2)

Passo 8

Subtraindo as duas integrais:
ln(2) - (ln(3) - ln(2)) = ln(2) - ln(3) + ln(2) = 2ln(2) - ln(3)
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
2ln(2) - ln(3) = ln(2^2) - ln(3) = ln(4) - ln(3) = ln( 43 )

Resposta

A integral dupla vale .

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