Calcule as integrais:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A gente tem uma integral dupla:
Onde
é a região definida por
e
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, a gente vai precisar usar substituição adequada e integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como integrar essa função com respeito a uma das variáveis. Vamos escolher integrar com relação a
primeiro. Para facilitar, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Isso simplifica a expressão dentro da raiz no denominador.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Vamos substituir isso na nossa integral original:
Passo 4
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para
quando
varia de 0 a 1. Quando
:
E quando
:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver essa integral em relação a
:
Aplicando os limites de
:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa expressão com relação a
de 0 a 1:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando substituição. Para a primeira integral, seja:
Então,
Voltando a
:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 8
Para a segunda integral, faça o mesmo tipo de substituição:
Então,
Voltando a
:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 9
Agora, vamos juntar tudo:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla vale:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
, onde
.
Seja
a região delimitada pelo cilindro
, pelo plano
e pelos planos
e
. Seja
a superfície de
. Se
, calcule
.
Calcule as integrais abaixo:
, onde
.
Determine o volume do sólido: limitado por
e
.