Calcule as integrais: integral duplaR x yraizx^2+y^2+1 d A, onde R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A gente tem uma integral dupla:
integral duplaR x yraizx^2+y^2+1 , dA
Onde é a região definida por e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, a gente vai precisar usar substituição adequada e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como integrar essa função com respeito a uma das variáveis. Vamos escolher integrar com relação a t = x^2 + y^2 + 1 primeiro. Para facilitar, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Isso simplifica a expressão dentro da raiz no denominador.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dtdy = 2y em relação a y , dy = dt2 :
x yraizx^2+y^2+1 , dy = xraizt cdot dt2 = x2 raizt , dt
Isso significa que:
Vamos substituir isso na nossa integral original:

Passo 4

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para t = x^2 + 0 + 1 = x^2 + 1 quando t = x^2 + 1 + 1 = x^2 + 2 varia de 0 a 1. Quando x2 integralx^2+1^x^2+2 1raizt , dt :
E quando :
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver essa integral em relação a integral 1raizt , dt = 2 raizt + C :
x2 [ 2 raizt ]x^2+1^x^2+2 = x ( raizx^2+2 - raizx^2+1 )
Aplicando os limites de :

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa expressão com relação a integral0^1 x ( raizx^2+2 - raizx^2+1 ) , dx de 0 a 1:
integral0^1 x raizx^2+2 , dx - integral0^1 x raizx^2+1 , dx
Vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando substituição. Para a primeira integral, seja:
u = x^2 + 2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2
Então,
integral x raizx^2+2 , dx = 12 integral raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C
Voltando a 13 (x^2 + 2)^3/2 :
13 [ (1+2)^3/2 - (0+2)^3/2 ] = 13 ( 3^3/2 - 2^3/2 ) = 13 (3raiz3 - 2raiz2)
Avaliado de 0 a 1:

Passo 8

Para a segunda integral, faça o mesmo tipo de substituição:
v = x^2 + 1 Rightarrow dv = 2x , dx Rightarrow x , dx = dv2
Então,
integral x raizx^2+1 , dx = 12 integral raizv , dv = 12 cdot 23 v^3/2 + C = 13 v^3/2 + C
Voltando a 13 (x^2 + 1)^3/2 :
13 [ (1+1)^3/2 - (0+1)^3/2 ] = 13 ( 2^3/2 - 1 ) = 13 (2raiz2 - 1)
Avaliado de 0 a 1:

Passo 9

Agora, vamos juntar tudo:
13 (3raiz3 - 2raiz2) - 13 (2raiz2 - 1) = 13 (3raiz3 - 4raiz2 + 1)
Simplificando:
raiz3 - 43 raiz2 + 13

Resposta

A integral dupla vale:
raiz3 - 43 raiz2 + 13

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