Calcule as integrais abaixo.
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar conhecimento de cálculo integral, como propriedades de funções ímpares e pares, além da técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 3
Olha só a primeira integral:
. Sabemos que
é uma função ímpar, ou seja,
. Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero. Então:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral:
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Substituindo de volta na expressão:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar neste caso porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 6
Vamos agora avaliar a expressão de
nos limites de
a
:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
O valor da integral é
.
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a)
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a)
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