Calcule as integrais abaixo.
a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Para isso, vamos usar conhecimento de cálculo integral, como propriedades de funções ímpares e pares, além da técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:

Passo 3

Olha só a primeira integral: . Sabemos que é uma função ímpar, ou seja, . Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero. Então:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Substituindo de volta na expressão:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar neste caso porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 6

Vamos agora avaliar a expressão de nos limites de a :
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral é .

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a)