Calcule as integrais abaixo.
a) integral-pi^pi(1+x) sen 2 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Para isso, vamos usar conhecimento de cálculo integral, como propriedades de funções ímpares e pares, além da técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral-pi^pi (1 + x) sin 2x , dx = integral-pi^pi sin 2x , dx + integral-pi^pi x sin 2x , dx

Passo 3

Olha só a primeira integral: integral-pi^pi sin 2x , dx = 0 . Sabemos que é uma função ímpar, ou seja, . Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero. Então:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
u = x Rightarrow du = dx
Vamos escolher:
dv = sin 2x , dx Rightarrow v = -12 cos 2x
integral x sin 2x , dx = -x2 cos 2x + 12 integral cos 2x , dx
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral cos 2x , dx = 12 sin 2x :
integral x sin 2x , dx = -x2 cos 2x + 14 sin 2x + C
Substituindo de volta na expressão:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar neste caso porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 6

Vamos agora avaliar a expressão de -pi2 cos 2pi + 14 sin 2pi = -pi2 cdot 1 + 0 = -pi2 nos limites de -(-pi)2 cos(-2pi) + 14 sin(-2pi) = pi2 cdot 1 + 0 = pi2 a -pi2 - pi2 = -pi :
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral é .

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