Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule
para
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua por pedaços e, se for, calcular a integral dela de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser contínua por pedaços. Uma função é contínua por pedaços se ela é contínua em cada pedaço onde está definida e não tem “quebras” no ponto onde os pedaços se encontram.
Passo 3
Então, vamos verificar a continuidade nos pedaços. Para
, a função é
, que é uma linha reta e, portanto, contínua. Para
, a função é
, que também é contínua porque é uma linha constante.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a função é contínua no ponto onde muda de definição, que é
. Vamos ver os limites laterais:
- Quando
se aproxima de pela direita ( ), . - Quando
se aproxima de pela esquerda ( ), .
Como os dois limites são iguais a
, a função é contínua em
.
Passo 5
Como a função é contínua em todos os pedaços e no ponto de junção, a função
é contínua por pedaços no intervalo
.
Passo 6
Agora que sabemos que a função é contínua por pedaços, vamos calcular a integral
. Como a função muda de expressão em
, vamos dividir a integral em duas partes:
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
-
(pois a função é zero nesse intervalo). -
Resposta
A função
é contínua por pedaços no intervalo
e a integral
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo.
a) .
a)
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)
a)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)