Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule para
a)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua por pedaços e, se for, calcular a integral dela de a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser contínua por pedaços. Uma função é contínua por pedaços se ela é contínua em cada pedaço onde está definida e não tem “quebras” no ponto onde os pedaços se encontram.

Passo 3

Então, vamos verificar a continuidade nos pedaços. Para , a função é , que é uma linha reta e, portanto, contínua. Para , a função é , que também é contínua porque é uma linha constante.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a função é contínua no ponto onde muda de definição, que é . Vamos ver os limites laterais:
  • Quando se aproxima de pela direita ( ), .
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ), .
Como os dois limites são iguais a , a função é contínua em .

Passo 5

Como a função é contínua em todos os pedaços e no ponto de junção, a função é contínua por pedaços no intervalo .

Passo 6

Agora que sabemos que a função é contínua por pedaços, vamos calcular a integral . Como a função muda de expressão em , vamos dividir a integral em duas partes:

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  1. (pois a função é zero nesse intervalo).

Resposta

A função é contínua por pedaços no intervalo e a integral vale .

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Calcule as integrais abaixo.
a) .
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)