Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule integral-1^1 f(x) d x para
a) f(x)= x & se x>0 0 & se x <= 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma função definida por partes:
f(x) = x & se x > 0 0 & se x <= 0
O objetivo é verificar se essa função é contínua por pedaços e, se for, calcular a integral dela de a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser contínua por pedaços. Uma função é contínua por pedaços se ela é contínua em cada pedaço onde está definida e não tem “quebras” no ponto onde os pedaços se encontram.

Passo 3

Então, vamos verificar a continuidade nos pedaços. Para , a função é , que é uma linha reta e, portanto, contínua. Para , a função é , que também é contínua porque é uma linha constante.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a função é contínua no ponto onde muda de definição, que é . Vamos ver os limites laterais:
  • Quando se aproxima de pela direita ( ), .
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ), .
Como os dois limites são iguais a , a função é contínua em .

Passo 5

Como a função é contínua em todos os pedaços e no ponto de junção, a função é contínua por pedaços no intervalo .

Passo 6

Agora que sabemos que a função é contínua por pedaços, vamos calcular a integral integral-1^1 f(x) , dx = integral-1^0 0 , dx + integral0^1 x , dx . Como a função muda de expressão em , vamos dividir a integral em duas partes:

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  1. (pois a função é zero nesse intervalo).

Resposta

A função é contínua por pedaços no intervalo e a integral vale .

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