Calcule as integrais abaixo:
integral raiz1-x^2x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral raiz1-x^2x^2 , dx. Esse é um exercício de cálculo, especificamente de integrais envolvendo funções algébricas e radicais. Para resolver, vamos precisar usar substituições trigonométricas e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz quadrada é 1 - x^2, que lembra a identidade trigonométrica sin^2theta + cos^2theta = 1. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos definir x = sintheta, o que implica que dx = costheta , dtheta.

Passo 3

Substituindo x = sintheta na integral, temos:
raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta
E o denominador x^2 se torna sin^2theta. Portanto, a integral original transforma-se em:
integral costhetasin^2theta cdot costheta , dtheta = integral cos^2thetasin^2theta , dtheta

Passo 4

Podemos simplificar cos^2thetasin^2theta usando a identidade cot^2theta = cos^2thetasin^2theta. Então, a integral fica:
integral cot^2theta , dtheta
Sabemos que a integral de cot^2theta pode ser encontrada usando a identidade cot^2theta = csc^2theta - 1:
integral cot^2theta , dtheta = integral (csc^2theta - 1) , dtheta = -cottheta - theta + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original x. Sabemos que x = sintheta, então theta = arcsin x. Além disso, usando a definição de cottheta = costhetasintheta e já que costheta = raiz1 - x^2, temos:
cottheta = raiz1 - x^2x
Substituindo theta e cottheta de volta na expressão, obtemos:
-raiz1 - x^2x - arcsin x + C

Resposta

A integral integral raiz1-x^2x^2 , dx é igual a:
-raiz1 - x^2x - arcsin x + C
onde C é a constante de integração.

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