Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Esse é um exercício de cálculo, especificamente de integrais envolvendo funções algébricas e radicais. Para resolver, vamos precisar usar substituições trigonométricas e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz quadrada é
, que lembra a identidade trigonométrica
. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos definir
, o que implica que
.
Passo 3
Substituindo
na integral, temos:
E o denominador
se torna
. Portanto, a integral original transforma-se em:
Passo 4
Podemos simplificar
usando a identidade
. Então, a integral fica:
Sabemos que a integral de
pode ser encontrada usando a identidade
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos voltar à variável original
. Sabemos que
, então
. Além disso, usando a definição de
e já que
, temos:
Substituindo
e
de volta na expressão, obtemos:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Qual é a diferença entre uma integral definida e uma integral indefinida? Dê exemplos.
Sejam
e
. Calcule:
Enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo. (Procure no seu livro preferido de cálculo.) Diga por que esse teorema merece esse nome.
Calcule as seguintes integrais usando frações parciais: