Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse é um exercício de cálculo, especificamente de integrais envolvendo funções algébricas e radicais. Para resolver, vamos precisar usar substituições trigonométricas e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz quadrada é , que lembra a identidade trigonométrica . Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos definir , o que implica que .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
E o denominador se torna . Portanto, a integral original transforma-se em:

Passo 4

Podemos simplificar usando a identidade . Então, a integral fica:
Sabemos que a integral de pode ser encontrada usando a identidade :
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original . Sabemos que , então . Além disso, usando a definição de e já que , temos:
Substituindo e de volta na expressão, obtemos:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Qual é a diferença entre uma integral definida e uma integral indefinida? Dê exemplos.
Sejam e . Calcule:
Enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo. (Procure no seu livro preferido de cálculo.) Diga por que esse teorema merece esse nome.
Calcule as seguintes integrais usando frações parciais: