Qual é a diferença entre uma integral definida e uma integral indefinida? Dê exemplos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício me pede para explicar a diferença entre uma integral definida e uma integral indefinida, além de dar alguns exemplos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que são integrais na matemática, especialmente no cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a integral indefinida. A integral indefinida, também conhecida como antiderivada, é basicamente a operação inversa da derivada. Ou seja, se você tem a derivada de uma função, a integral indefinida te dá a função original (mais uma constante, já que a derivada de uma constante é zero).
A fórmula geral para a integral indefinida de uma função é:
Aqui, é a antiderivada de e é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos para a integral definida. Diferente da indefinida, a integral definida calcula a área sob a curva de uma função entre dois pontos e no eixo . Ela fornece um valor numérico que representa essa área.
A fórmula para a integral definida é:
Aqui, é uma antiderivada de , e a expressão nos dá o valor da área entre e .

Passo 4

Vamos resumir as diferenças principais:
  1. Integral Indefinida:
    • Representa uma família de funções (antiderivadas) y = F(x) + C.
    • Não tem limites de integração.
    • Usada para encontrar a forma geral da antiderivada.
  2. Integral Definida:
    • Calcula uma área específica sob a curva de entre e .
    • Tem limites de integração e .
    • Retorna um valor numérico.

Passo 5

Vamos ver alguns exemplos para clarear:
  • Exemplo de Integral Indefinida:
    Aqui, a antiderivada de é mais a constante .
  • Exemplo de Integral Definida:
    Nesse caso, estamos calculando a área sob a curva de até , que é igual a 8.

Resposta

Em resumo, a integral indefinida fornece a antiderivada de uma função, representando todas as possíveis funções cuja derivada é a função original, sem limites específicos. Já a integral definida calcula a área sob a curva da função entre dois pontos específicos, retornando um valor numérico. Por exemplo, a integral indefinida de é , enquanto a integral definida de de 1 a 3 é igual a 8.

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Enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo. (Procure no seu livro preferido de cálculo.) Diga por que esse teorema merece esse nome.