Qual é a diferença entre uma integral definida e uma integral indefinida? Dê exemplos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício me pede para explicar a diferença entre uma integral definida e uma integral indefinida, além de dar alguns exemplos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que são integrais na matemática, especialmente no cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a integral indefinida. A integral indefinida, também conhecida como antiderivada, é basicamente a operação inversa da derivada. Ou seja, se você tem a derivada de uma função, a integral indefinida te dá a função original (mais uma constante, já que a derivada de uma constante é zero).
A fórmula geral para a integral indefinida de uma função
é:
Aqui,
é a antiderivada de
e
é a constante de integração.
Passo 3
Agora, vamos para a integral definida. Diferente da indefinida, a integral definida calcula a área sob a curva de uma função
entre dois pontos
e
no eixo
. Ela fornece um valor numérico que representa essa área.
A fórmula para a integral definida é:
Aqui,
é uma antiderivada de
, e a expressão
nos dá o valor da área entre
e
.
Passo 4
Vamos resumir as diferenças principais:
-
Integral Indefinida:
- Representa uma família de funções (antiderivadas) y = F(x) + C.
- Não tem limites de integração.
- Usada para encontrar a forma geral da antiderivada.
-
Integral Definida:
- Calcula uma área específica sob a curva de
entre e . - Tem limites de integração
e . - Retorna um valor numérico.
- Calcula uma área específica sob a curva de
Passo 5
Vamos ver alguns exemplos para clarear:
-
Exemplo de Integral Indefinida:Aqui, a antiderivada de
é mais a constante . -
Exemplo de Integral Definida:Nesse caso, estamos calculando a área sob a curva
de até , que é igual a 8.
Resposta
Em resumo, a integral indefinida fornece a antiderivada de uma função, representando todas as possíveis funções cuja derivada é a função original, sem limites específicos. Já a integral definida calcula a área sob a curva da função entre dois pontos específicos, retornando um valor numérico. Por exemplo, a integral indefinida de
é
, enquanto a integral definida de
de 1 a 3 é igual a 8.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Calcule:
Calcule as seguintes integrais por substituição:
Calcule as integrais abaixo:
Enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo. (Procure no seu livro preferido de cálculo.) Diga por que esse teorema merece esse nome.