Sejam f(x) = x^2, g(x) = cos(x) e h(x) = e^x. Calcule:
d/dx[h(f(g(x)))]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de uma função composta: , onde as funções são dadas por:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções compostas, e para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a composição das funções:
  • Começamos com .
  • Depois aplicamos em : .
  • Por fim, aplicamos em : .
Agora, queremos encontrar a derivada dessa composição, ou seja, .

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para derivadas compostas. A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta , a derivada é:
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
    Então, .
  2. Derivada de em relação a :
    Então, .
  3. Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, juntamos tudo:
Simplificando os termos:

Resposta

Exercícios relacionados