Calcule as integrais abaixo:
integral sec ^2(2 x) tg(2 x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Observando a integral, vemos que a função e sua derivada, que envolve , estão presentes. Isso sugere que podemos usar a substituição .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de du = ddx [tan(2x)] , dx = 2 sec^2(2x) , dx em relação a sec^2(2x) , dx = 12 du :
Isso implica que:

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral sec^2(2x) tan(2x) , dx = integral u cdot 12 du = 12 integral u , du

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a 12 integral u , du = 12 cdot u^22 + C = u^24 + C :

Passo 6

Finalmente, substituímos u^24 + C = tan^2(2x)4 + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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