Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Observando a integral, vemos que a função e sua derivada, que envolve , estão presentes. Isso sugere que podemos usar a substituição .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso implica que:

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável .
Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar .
A equação de uma reta que passa pelos pontos e é:
onde é a declividade (ou inclinação da reta) e é dada por . Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é, . Encontre a equação da reta tangente à curva:
(b) , no ponto em que .
Uma urna contém inicialmente 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Toda vez que uma bola é retirada, sua cor é registrada e é substituída, na urna, por duas bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que Entre as primeiras 4 bolas retiradas há exatamente duas negras.
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