A equação de uma reta que passa pelos pontos
e
é:
onde
é a declividade (ou inclinação da reta) e é dada por
. Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é,
. Encontre a equação da reta tangente à curva:
(b)
, no ponto em que
.
onde
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto onde
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele exato ponto.
Passo 3
Para encontrar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função
em relação a
. A derivada nos dá exatamente essa inclinação.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 5
Agora, substituímos
na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Passo 6
Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto
. Vamos encontrar o valor de
quando
na função original:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 7
Agora, temos a inclinação
e o ponto
. Podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto onde
é
.
Exercícios relacionados
As curvas com equações
são chamadas, com
, curvas ponta de bala.
(a) Encontre o domínio.
(a) Encontre o domínio.
*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 5)
Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável
.
Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar .
Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar
Calcule as integrais abaixo: