A equação de uma reta que passa pelos pontos e é:
onde é a declividade (ou inclinação da reta) e é dada por . Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é, . Encontre a equação da reta tangente à curva:
(b) , no ponto em que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele exato ponto.

Passo 3

Para encontrar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos dá exatamente essa inclinação.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 5

Agora, substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:

Passo 6

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto . Vamos encontrar o valor de quando na função original:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 7

Agora, temos a inclinação e o ponto . Podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é .

Exercícios relacionados

As curvas com equações são chamadas, com , curvas ponta de bala.
(a) Encontre o domínio.
*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 5)
Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável .
Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar .
Calcule as integrais abaixo: