A equação de uma reta que passa pelos pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) é: y-ya=m(x-xa)
onde m é a declividade (ou inclinação da reta) e é dada por yb-yaxb-xa. Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é, m=lim x xa y-yax-xa. Encontre a equação da reta tangente à curva:
(b) y=sen(2 x), no ponto em que x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele exato ponto.

Passo 3

Para encontrar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos dá exatamente essa inclinação.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de dydx = cos(2x) cdot 2 = 2cos(2x) . Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 5

Agora, substituímos m = 2cos(2 cdot 0) = 2cos(0) = 2 cdot 1 = 2 na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:

Passo 6

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto y = sin(2 cdot 0) = sin(0) = 0 . Vamos encontrar o valor de quando na função original:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 7

Agora, temos a inclinação y - ya = m(x - xa) e o ponto y - 0 = 2(x - 0) Rightarrow y = 2x . Podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é .

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