Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável
.
Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar
.
Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e a gente quer resolver usando a mudança de variável
. Isso envolve conceitos de equações diferenciais e substituição de variáveis. Vamos precisar entender como transformar a equação original em uma que seja separável, ou seja, onde a gente consegue separar os termos que envolvem
dos que envolvem
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa nova variável
como
. Isso significa que
. Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Usando a regra do produto, temos:
Isso porque a derivada de
é
(derivada de
multiplicada por
) mais
multiplicada pela derivada de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Substituindo, temos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
Distribuindo
:
Simplificando mais:
Os termos
e
se cancelam, resultando em:
Passo 5
Vamos agora isolar os termos que envolvem
:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá uma equação separável, onde podemos separar
e
para lados diferentes.
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis:
Agora, a gente pode integrar ambos os lados separadamente.
Passo 7
Integrando o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Vamos resolver cada integral:
Para a integral da esquerda, podemos separar:
A primeira parte é:
E a segunda parte é:
Então, a integral total fica:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, vamos substituir
de volta na equação:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
A equação de uma reta que passa pelos pontos
e
é:
onde é a declividade (ou inclinação da reta) e é dada por
. Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é,
. Encontre a equação da reta tangente à curva:
(b) , no ponto em que
.
onde
(b)
As curvas com equações
são chamadas, com
, curvas ponta de bala.
(a) Encontre o domínio.
(a) Encontre o domínio.
Calcule as integrais abaixo:
Uma urna contém inicialmente 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Toda vez que uma bola é retirada, sua cor é registrada e é substituída, na urna, por duas bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que Entre as primeiras 4 bolas retiradas há exatamente duas negras.