Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável .
Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e a gente quer resolver usando a mudança de variável . Isso envolve conceitos de equações diferenciais e substituição de variáveis. Vamos precisar entender como transformar a equação original em uma que seja separável, ou seja, onde a gente consegue separar os termos que envolvem dos que envolvem para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa nova variável como . Isso significa que . Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Usando a regra do produto, temos:
Isso porque a derivada de é (derivada de multiplicada por ) mais multiplicada pela derivada de .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original:
Substituindo, temos:
Simplificando:

Passo 4

Vamos dividir todos os termos por para simplificar:
Distribuindo :
Simplificando mais:
Os termos e se cancelam, resultando em:

Passo 5

Vamos agora isolar os termos que envolvem :
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá uma equação separável, onde podemos separar e para lados diferentes.

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis:
Agora, a gente pode integrar ambos os lados separadamente.

Passo 7

Integrando o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Vamos resolver cada integral:
Para a integral da esquerda, podemos separar:
A primeira parte é:
E a segunda parte é:
Então, a integral total fica:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, vamos substituir de volta na equação:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é a constante de integração.

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A equação de uma reta que passa pelos pontos e é:
onde é a declividade (ou inclinação da reta) e é dada por . Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é, . Encontre a equação da reta tangente à curva:
(b) , no ponto em que .
As curvas com equações são chamadas, com , curvas ponta de bala.
(a) Encontre o domínio.
Calcule as integrais abaixo:
Uma urna contém inicialmente 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Toda vez que uma bola é retirada, sua cor é registrada e é substituída, na urna, por duas bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que Entre as primeiras 4 bolas retiradas há exatamente duas negras.