Uma urna contém inicialmente 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Toda vez que uma bola é retirada, sua cor é registrada e é substituída, na urna, por duas bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que Entre as primeiras 4 bolas retiradas há exatamente duas negras.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Cada vez que tiramos uma bola, registramos sua cor e a devolvemos na urna junto com mais duas bolas da mesma cor. Precisamos calcular a probabilidade de que, nas primeiras 4 retiradas, exatamente 2 bolas sejam negras. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e processos estocásticos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o processo de substituição. Cada vez que retiramos uma bola, a composição da urna muda. Se tirarmos uma bola preta, adicionamos mais duas pretas; se for branca, adicionamos mais duas brancas. Isso significa que a probabilidade em cada retirada depende das retiradas anteriores.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade passo a passo para cada uma das 4 retiradas, considerando que exatamente 2 delas são negras. Vamos identificar todas as sequências possíveis onde exatamente 2 retiradas são negras e 2 são brancas.
Passo 4
As sequências possíveis onde há exatamente 2 bolas negras em 4 retiradas são:
- N, N, B, B
- N, B, N, B
- N, B, B, N
- B, N, N, B
- B, N, B, N
- B, B, N, N
Onde “N” representa uma bola negra e “B” uma bola branca.
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade para uma dessas sequências, por exemplo, N, N, B, B, e depois multiplicar pelo número de sequências possíveis.
Passo 6
Inicialmente, a urna tem 5 brancas e 7 negras, totalizando 12 bolas.
-
Primeira retirada (N):
- Probabilidade:
- Após a retirada, adicionamos 2 negras: novas contagens - brancas: 5, negras: 9, total: 14.
- Probabilidade:
-
Segunda retirada (N):
- Probabilidade:
- Após a retirada, adicionamos 2 negras: brancas: 5, negras: 11, total: 16.
- Probabilidade:
-
Terceira retirada (B):
- Probabilidade:
- Após a retirada, adicionamos 2 brancas: brancas: 7, negras: 11, total: 18.
- Probabilidade:
-
Quarta retirada (B):
- Probabilidade:
- Probabilidade:
Passo 7
Multiplicando as probabilidades dessa sequência:
Passo 8
Calculando:
Agora, multiplicamos:
Simplificando:
Passo 9
Como há 6 sequências possíveis onde exatamente 2 retiradas são negras, multiplicamos a probabilidade de uma sequência por 6:
Resposta
A probabilidade de que, entre as primeiras 4 bolas retiradas, exatamente duas sejam negras é
, ou aproximadamente 27,34%.
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Calcule as integrais abaixo:
Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável
.
Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar .
Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar
Dois dados são lançados. Qual a probabilidade condicional de ter saído 6 dado que os números das faces viradas para cima dos dados foram diferentes?
Considere 3 urnas. A urna
contém 2 bolas brancas e 4 bolas vermelhas; a urna
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contém 1 bola branca e 3 bolas vermelhas. Uma bola é escolhida aleatoriamente de cada urna. Qual a probabilidade de que bola escolhida da urna
seja branca dado que a amostra retirada possui exatamente 2 bolas brancas?