Uma urna contém inicialmente 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Toda vez que uma bola é retirada, sua cor é registrada e é substituída, na urna, por duas bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que Entre as primeiras 4 bolas retiradas há exatamente duas negras.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Cada vez que tiramos uma bola, registramos sua cor e a devolvemos na urna junto com mais duas bolas da mesma cor. Precisamos calcular a probabilidade de que, nas primeiras 4 retiradas, exatamente 2 bolas sejam negras. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e processos estocásticos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o processo de substituição. Cada vez que retiramos uma bola, a composição da urna muda. Se tirarmos uma bola preta, adicionamos mais duas pretas; se for branca, adicionamos mais duas brancas. Isso significa que a probabilidade em cada retirada depende das retiradas anteriores.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade passo a passo para cada uma das 4 retiradas, considerando que exatamente 2 delas são negras. Vamos identificar todas as sequências possíveis onde exatamente 2 retiradas são negras e 2 são brancas.

Passo 4

As sequências possíveis onde há exatamente 2 bolas negras em 4 retiradas são:
  1. N, N, B, B
  2. N, B, N, B
  3. N, B, B, N
  4. B, N, N, B
  5. B, N, B, N
  6. B, B, N, N
Onde “N” representa uma bola negra e “B” uma bola branca.

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade para uma dessas sequências, por exemplo, N, N, B, B, e depois multiplicar pelo número de sequências possíveis.

Passo 6

Inicialmente, a urna tem 5 brancas e 7 negras, totalizando 12 bolas.
  • Primeira retirada (N):
    • Probabilidade:
    • Após a retirada, adicionamos 2 negras: novas contagens - brancas: 5, negras: 9, total: 14.
  • Segunda retirada (N):
    • Probabilidade:
    • Após a retirada, adicionamos 2 negras: brancas: 5, negras: 11, total: 16.
  • Terceira retirada (B):
    • Probabilidade:
    • Após a retirada, adicionamos 2 brancas: brancas: 7, negras: 11, total: 18.
  • Quarta retirada (B):
    • Probabilidade:

Passo 7

Multiplicando as probabilidades dessa sequência:

Passo 8

Calculando:
Agora, multiplicamos:
Simplificando:

Passo 9

Como há 6 sequências possíveis onde exatamente 2 retiradas são negras, multiplicamos a probabilidade de uma sequência por 6:

Resposta

A probabilidade de que, entre as primeiras 4 bolas retiradas, exatamente duas sejam negras é , ou aproximadamente 27,34%.

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