Calcule as integrais abaixo.
.
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a integral
. Aqui estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente o seno e o cosseno. Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição, que é bem útil quando temos uma função composta dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos chamar de
. Olhando para a integral
, percebemos que se a gente escolher
, a gente facilita bastante a resolução. Isso porque a derivada de
é
, que já está presente na integral.
Passo 3
Com
, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Isso significa que
pode ser substituído por
na integral.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Essa é uma integral mais simples de resolver.
Passo 5
Vamos calcular a integral
. A regra básica para integrar
é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original, que é
. Lembrando que
, substituímos
de volta:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo.
;
Calcule a partir da definição as seguintes integrais:
Sabe-se que
. Determine área de 0 a 1 sob o gráfico da função g. Dica: Não foi pedido a área sob o gráfico da função
, mas sim da função g. CUIDADO!
O que significa geometricamente a integral de uma função contínua positiva no intervalo
? Marque a única alternativa correta abaixo.
a. O volume do sólido de revolução.
b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, significa a primitiva de uma função.
c. A inclinação da reta tangente ao gráfico.
d. A área sob o gráfico da função no intervalo .
e. Ela é o processo inverso da derivação: A derivação vai e a integração volta.
a. O volume do sólido de revolução.
b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, significa a primitiva de uma função.
c. A inclinação da reta tangente ao gráfico.
d. A área sob o gráfico da função no intervalo
e. Ela é o processo inverso da derivação: A derivação vai e a integração volta.