Sabe-se que
. Determine área de 0 a 1 sob o gráfico da função g. Dica: Não foi pedido a área sob o gráfico da função
, mas sim da função g. CUIDADO!
Passo 1
Então, o que a questão está pedindo? A gente sabe que a derivada da função
é
. A tarefa é encontrar a área sob o gráfico da função
no intervalo de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é como se fosse “somar” pequenas partes para achar a área total.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir qual é a função
. Sabemos que
é a derivada de
. Para encontrar
, vamos integrar
.
A integral de
é:
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Aqui,
é a constante de integração que aparece quando integramos.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a área sob
de 0 a 1, ou seja, calcular:
Substituímos
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Vamos integrar cada termo novamente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 1:
Simplificando:
Passo 7
Percebi que a constante
apareceu, mas como estamos calculando uma área definida (limites de 0 a 1), a constante se cancela. Portanto, podemos desconsiderar
.
Agora, somamos as frações:
Resposta
A área sob o gráfico da função
de 0 a 1 é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo.
.
Calcule as integrais abaixo.
;
O que significa geometricamente a integral de uma função contínua positiva no intervalo
? Marque a única alternativa correta abaixo.
a. O volume do sólido de revolução.
b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, significa a primitiva de uma função.
c. A inclinação da reta tangente ao gráfico.
d. A área sob o gráfico da função no intervalo .
e. Ela é o processo inverso da derivação: A derivação vai e a integração volta.
a. O volume do sólido de revolução.
b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, significa a primitiva de uma função.
c. A inclinação da reta tangente ao gráfico.
d. A área sob o gráfico da função no intervalo
e. Ela é o processo inverso da derivação: A derivação vai e a integração volta.
Hallar la ecuación del plano tangente y de una recta normal al paraboloide
en el punto