Sabe-se que g'(x) = x^3 + x + 1. Determine área de 0 a 1 sob o gráfico da função g. Dica: Não foi pedido a área sob o gráfico da função g', mas sim da função g. CUIDADO!

Passo 1

Então, o que a questão está pedindo? A gente sabe que a derivada da função é . A tarefa é encontrar a área sob o gráfico da função no intervalo de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é como se fosse “somar” pequenas partes para achar a área total.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir qual é a função . Sabemos que é a derivada de . Para encontrar , vamos integrar .
A integral de é:

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Aqui, é a constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a área sob de 0 a 1, ou seja, calcular:
Á
Substituímos pela expressão que encontramos:
Á

Passo 5

Vamos integrar cada termo novamente:
Então, a integral fica:
Á

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 1:
Á
Simplificando:
Á

Passo 7

Percebi que a constante apareceu, mas como estamos calculando uma área definida (limites de 0 a 1), a constante se cancela. Portanto, podemos desconsiderar .
Agora, somamos as frações:

Resposta

A área sob o gráfico da função de 0 a 1 é unidades quadradas.

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