Calcule as integrais abaixo. integral0^pi / 3 t cos (t) d t;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos fazer as seguinte escolhas:
u = t Rightarrow du = dt
dv = cos(t) dt Rightarrow v = integral cos(t) dt = sin(t)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral t cos(t) dt = t sin(t) - integral sin(t) dt

Passo 5

Calculamos a integral restante:
integral sin(t) dt = -cos(t) + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
integral t cos(t) dt = t sin(t) + cos(t) + C

Passo 6

Como estamos lidando com uma integral definida, aplicamos os limites de integração de [ t sin(t) + cos(t) ]0^pi3 = ( pi3 sin( pi3 ) + cos( pi3 ) ) - ( 0 cdot sin(0) + cos(0) ) a :

Passo 7

Agora, calculamos os valores das funções trigonométricas:
sin( pi3 ) = raiz32, cos( pi3 ) = 12, cos(0) = 1
Substituindo esses valores na expressão:
pi3 cdot raiz32 + 12 - 1 = pi raiz36 + 12 - 1 = pi raiz36 - 12

Resposta

A integral definida é:
integral0^pi / 3 t cos(t) dt = pi raiz36 - 12

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