O que significa geometricamente a integral de uma função contínua positiva no intervalo
? Marque a única alternativa correta abaixo.
a. O volume do sólido de revolução.
b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, significa a primitiva de uma função.
c. A inclinação da reta tangente ao gráfico.
d. A área sob o gráfico da função no intervalo
.
e. Ela é o processo inverso da derivação: A derivação vai e a integração volta.
a. O volume do sólido de revolução.
b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, significa a primitiva de uma função.
c. A inclinação da reta tangente ao gráfico.
d. A área sob o gráfico da função no intervalo
e. Ela é o processo inverso da derivação: A derivação vai e a integração volta.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma questão que pergunta o que a integral de uma função contínua e positiva no intervalo
representa geometricamente. Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo integral. Vamos precisar entender o que é uma integral definida e como ela se relaciona com áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Quando a gente calcula a integral de uma função contínua
no intervalo
, estamos basicamente somando infinitos retângulos de largura bem pequena sob o gráfico da função, de
até
. Isso dá a área total entre a curva da função, o eixo
, e as linhas verticais em
e
.
Matematicamente, isso é representado por:
Essa expressão calcula a área sob o gráfico da função
entre os pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as alternativas:
-
a. O volume do sólido de revolução.Isso está relacionado à integral, mas especificamente a integrais que envolvem a rotação da função em torno de um eixo, usando métodos como o de discos ou cascas cilíndricas. Não é o significado geral da integral definida.
-
b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, significa a primitiva de uma função.O Teorema Fundamental do Cálculo conecta derivadas e integrais, dizendo que a integral definida pode ser calculada usando uma primitiva da função. Mas o enunciado pergunta sobre a interpretação geométrica, que é a área.
-
c. A inclinação da reta tangente ao gráfico.Isso está relacionado à derivada da função, não à integral.
-
d. A área sob o gráfico da função no intervalo
. Isso exatamente descreve o que a integral definida representa geometricamente. -
e. Ela é o processo inverso da derivação: A derivação vai e a integração volta.Embora a integração seja considerada o processo inverso da derivação, o enunciado pede a interpretação geométrica, não uma relação conceitual.
Resposta
A alternativa correta é a d. A área sob o gráfico da função no intervalo
.
Exercícios relacionados
Sabe-se que
. Determine área de 0 a 1 sob o gráfico da função g. Dica: Não foi pedido a área sob o gráfico da função
, mas sim da função g. CUIDADO!
Calcule as integrais abaixo.
.
Hallar la ecuación del plano tangente y de una recta normal al paraboloide
en el punto
Encontrar el gradiente de la función:
en el punto (1,0).