O que significa geometricamente a integral de uma função contínua positiva no intervalo [a, b] ? Marque a única alternativa correta abaixo.
a. O volume do sólido de revolução.
b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, significa a primitiva de uma função.
c. A inclinação da reta tangente ao gráfico.
d. A área sob o gráfico da função no intervalo [a, b].
e. Ela é o processo inverso da derivação: A derivação vai e a integração volta.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma questão que pergunta o que a integral de uma função contínua e positiva no intervalo [a, b] representa geometricamente. Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo integral. Vamos precisar entender o que é uma integral definida e como ela se relaciona com áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Quando a gente calcula a integral de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b], estamos basicamente somando infinitos retângulos de largura bem pequena sob o gráfico da função, de a até b. Isso dá a área total entre a curva da função, o eixo x, e as linhas verticais em e .
Matematicamente, isso é representado por:
Essa expressão calcula a área sob o gráfico da função f(x) entre os pontos a e b.

Passo 3

Agora, vamos analisar as alternativas:
  • a. O volume do sólido de revolução.
    Isso está relacionado à integral, mas especificamente a integrais que envolvem a rotação da função em torno de um eixo, usando métodos como o de discos ou cascas cilíndricas. Não é o significado geral da integral definida.
  • b. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, significa a primitiva de uma função.
    O Teorema Fundamental do Cálculo conecta derivadas e integrais, dizendo que a integral definida pode ser calculada usando uma primitiva da função. Mas o enunciado pergunta sobre a interpretação geométrica, que é a área.
  • c. A inclinação da reta tangente ao gráfico.
    Isso está relacionado à derivada da função, não à integral.
  • d. A área sob o gráfico da função no intervalo [a, b].
    Isso exatamente descreve o que a integral definida representa geometricamente.
  • e. Ela é o processo inverso da derivação: A derivação vai e a integração volta.
    Embora a integração seja considerada o processo inverso da derivação, o enunciado pede a interpretação geométrica, não uma relação conceitual.

Resposta

A alternativa correta é a d. A área sob o gráfico da função no intervalo [a, b].

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