Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
. Isso está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que o expoente de seno é ímpar (5). Quando isso acontece, uma boa estratégia é separar um fator de sen x para usar na substituição. Então, vamos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos aproveitar a identidade trigonométrica
. Podemos reescrever
como
e substituir
por
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, fazemos a substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
, o que significa que
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos expandir
para simplificar a integral:
Agora, multiplicamos isso por
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo de volta:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral de
é: