Calcule as integrais abaixo: integral sen^5 x cos ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de sin^5 x cos^4 x , dx. Isso está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o expoente de seno é ímpar (5). Quando isso acontece, uma boa estratégia é separar um fator de sen x para usar na substituição. Então, vamos reescrever a integral assim:
integral sin^5 x cos^4 x , dx = integral sin^4 x cdot cos^4 x cdot sin x , dx

Passo 3

Agora, vamos aproveitar a identidade trigonométrica sin^2 x + cos^2 x = 1. Podemos reescrever sin^4 x como (sin^2 x)^2 e substituir sin^2 x por 1 - cos^2 x:
sin^4 x = (sin^2 x)^2 = (1 - cos^2 x)^2
Então, a integral fica:
integral (1 - cos^2 x)^2 cdot cos^4 x cdot sin x , dx

Passo 4

Agora, fazemos a substituição. Vamos deixar u = cos x. Então, a derivada de u em relação a x é du = -sin x , dx, o que significa que - du = sin x , dx.
Substituindo na integral:
integral (1 - u^2)^2 cdot u^4 cdot (-du) = -integral (1 - u^2)^2 u^4 , du

Passo 5

Vamos expandir (1 - u^2)^2 para simplificar a integral:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Agora, multiplicamos isso por u^4:
(1 - 2u^2 + u^4) cdot u^4 = u^4 - 2u^6 + u^8
Então, a integral fica:
-integral ( u^4 - 2u^6 + u^8 ) , du = -integral u^4 , du + 2integral u^6 , du - integral u^8 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral u^4 , du = u^55
  2. integral u^6 , du = u^77
  3. integral u^8 , du = u^99
Substituindo de volta:
- ( u^55 ) + 2 ( u^77 ) - ( u^99 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos u = cos x de volta na expressão:
- cos^5 x5 + 2 cdot cos^7 x7 - cos^9 x9 + C

Resposta

A integral de sin^5 x cos^4 x , dx é:
- cos^5 x5 + 2 cos^7 x7 - cos^9 x9 + C

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