Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . Vamos utilizar conceitos de Cálculo, como derivadas, para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . O módulo indica que a função é simétrica em relação a . A raiz quadrada nos diz que os valores de são sempre não negativos.
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos calcular a primeira derivada da função. Vamos derivar em relação a :
A derivada de em relação a é:
Sabemos que a derivada de é:
Então, a primeira derivada fica:
ã
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe.
Observando a primeira derivada:
Para , . Esse termo nunca é zero, mas existe para .
Para , . Também nunca é zero, mas existe para .
Em , a derivada não existe.
Portanto, o único ponto crítico é .
Passo 5
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada:
Para , . Então, a função está crescendo nesse intervalo.
Para , . Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de máximos e mínimos locais. Sabemos que em pontos críticos a função pode ter um máximo ou mínimo.
Em , observamos que a função muda de decrescimento para crescimento. Isso indica que é um ponto de mínimo local.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos na função:
Então, o ponto mínimo é .
Passo 7
Vamos agora analisar a concavidade da função calculando a segunda derivada .
Começamos com a primeira derivada:
Derivando novamente:
ã
Passo 8
Para determinar a concavidade:
Para , . A função é côncava para baixo nesse intervalo.
Para , . A função é côncava para cima nesse intervalo.
Passo 9
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda. Observando o comportamento da concavidade:
Para , a função é côncava para cima.
Para , a função é côncava para baixo.
A mudança ocorre em , portanto, �� um ponto de inflexão.
Passo 10
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função :
Há um ponto mínimo em .
A função é decrescente para e crescente para .
É côncava para cima quando e côncava para baixo quando .
O ponto é um ponto de inflexão.
O gráfico terá a forma de uma “V” invertida suavizada, tocando o ponto e abrindo-se para cima e para baixo conforme os intervalos.
Resposta
a) Ponto Crítico:
b) Intervalos de Crescimento: ; Intervalos de Decrescimento:
c) Ponto de Mínimo Local:
d) Concavidade: Côncava para cima em ; Côncava para baixo em
e) Ponto de Inflexão:
f) Esboço do Gráfico: Uma “V” invertida suavizada com ponto mínimo em , decrescendo para a esquerda e crescendo para a direita de , mudando a concavidade nesse ponto.