Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente analisar a função
. A gente vai precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, pra encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e até esboçar o gráfico da função. Vamos resolver tudo isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, pra achar os pontos críticos, a gente precisa calcular a derivada da função
em relação a
e ver onde essa derivada é igual a zero ou não existe.
A função é:
Vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando:
Agora, vamos ver onde
ou não existe. Olhando a derivada:
O denominador nunca é zero porque
é sempre positivo. Então, não tem pontos onde a derivada não existe. E como o numerador é 1, que nunca é zero, não há pontos críticos.
Passo 3
Agora vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Olhando a derivada:
Como o denominador é sempre positivo e o numerador também, a derivada
é sempre positiva. Isso significa que a função está sempre crescendo, não importa o valor de
.
Intervalo de crescimento:
Intervalo de decrescimento: Nenhum
Intervalo de decrescimento: Nenhum
Passo 4
Como não encontramos pontos críticos e a função está sempre crescendo, não há máximos ou mínimos locais nessa função.
Passo 5
Vamos investigar a concavidade da função, pra isso precisamos calcular a segunda derivada
.
Já temos a primeira derivada:
Agora, derivamos
em relação a
:
Simplificando:
Agora, vamos ver onde
é positiva ou negativa:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Analisando
:
- Quando
, → côncava para baixo. - Quando
, → côncava para cima.
Passo 6
Pra achar os pontos de inflexão, a gente procura onde a concavidade muda, ou seja, onde
muda de sinal.
Analisando
:
-
quando o numerador é zero, ou seja, → .
Então,
é um ponto de inflexão porque a concavidade muda de cima para baixo.
Passo 7
Finalmente, vamos fazer um esboço do gráfico com todas as informações que obtivemos:
- Domínio:
- Crescimento: Sempre crescente.
- Máximos/Mínimos: Nenhum.
- Concavidade:
- Côncava para cima quando
. - Côncava para baixo quando
.
- Côncava para cima quando
- Ponto de inflexão:
.
O gráfico vai começar do infinito negativo, aumentando sempre, mudando a concavidade no ponto
, e continuando a crescer para o infinito positivo.
Resposta
A função
não possui pontos críticos nem máximos ou mínimos locais. Ela está sempre crescendo em
, é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
, com um ponto de inflexão em
. O esboço do gráfico reflete essas características, mostrando uma curva contínua e crescente com uma mudança na concavidade no ponto de inflexão.