Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = x / raiz(x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente analisar a função . A gente vai precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, pra encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e até esboçar o gráfico da função. Vamos resolver tudo isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, pra achar os pontos críticos, a gente precisa calcular a derivada da função em relação a e ver onde essa derivada é igual a zero ou não existe.
A função é:
Vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando:
Agora, vamos ver onde ou não existe. Olhando a derivada:
O denominador nunca é zero porque é sempre positivo. Então, não tem pontos onde a derivada não existe. E como o numerador é 1, que nunca é zero, não há pontos críticos.

Passo 3

Agora vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Olhando a derivada:
Como o denominador é sempre positivo e o numerador também, a derivada é sempre positiva. Isso significa que a função está sempre crescendo, não importa o valor de .
Intervalo de crescimento:
Intervalo de decrescimento: Nenhum

Passo 4

Como não encontramos pontos críticos e a função está sempre crescendo, não há máximos ou mínimos locais nessa função.

Passo 5

Vamos investigar a concavidade da função, pra isso precisamos calcular a segunda derivada .
Já temos a primeira derivada:
Agora, derivamos em relação a :
Simplificando:
Agora, vamos ver onde é positiva ou negativa:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Analisando :
  • Quando , → côncava para baixo.
  • Quando , → côncava para cima.

Passo 6

Pra achar os pontos de inflexão, a gente procura onde a concavidade muda, ou seja, onde muda de sinal.
Analisando :
  • quando o numerador é zero, ou seja, .
Então, é um ponto de inflexão porque a concavidade muda de cima para baixo.

Passo 7

Finalmente, vamos fazer um esboço do gráfico com todas as informações que obtivemos:
  • Domínio:
  • Crescimento: Sempre crescente.
  • Máximos/Mínimos: Nenhum.
  • Concavidade:
    • Côncava para cima quando .
    • Côncava para baixo quando .
  • Ponto de inflexão: .
O gráfico vai começar do infinito negativo, aumentando sempre, mudando a concavidade no ponto , e continuando a crescer para o infinito positivo.

Resposta

A função não possui pontos críticos nem máximos ou mínimos locais. Ela está sempre crescendo em , é côncava para cima quando e côncava para baixo quando , com um ponto de inflexão em . O esboço do gráfico reflete essas características, mostrando uma curva contínua e crescente com uma mudança na concavidade no ponto de inflexão.

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