Calcule as integrais abaixo: integral0^pi2 cos traiz1-sen^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Estamos lidando com funções trigonométricas e integrais, então vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador raiz1 - sin^2 t = raizcos^2 t . Sabemos que (essa é a identidade trigonométrica fundamental). Então, podemos reescrever como :

Passo 3

A raiz quadrada de raizcos^2 t = cos t é o valor absoluto de , ou seja, . Mas, no intervalo de integração de a , o cosseno é sempre positivo. Então, podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, substituímos o denominador simplificado na integral original:
integral0^pi2 cos tcos t , dt = integral0^pi2 1 , dt
Isso fica muito mais simples, pois estamos integrando a função constante 1.

Passo 5

Integrar 1 em relação a integral 1 , dt = t + C é direto:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, apenas avaliamos nos limites de integração.

Passo 6

Aplicamos os limites de t |0^pi2 = pi2 - 0 = pi2 a :

Resposta

A integral vale .

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