Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar um substituição simples na hora de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que
vai de 0 até 2, e para cada
,
vai de
até 4. Isso significa que estamos integrando sobre uma área onde
está limitado inferiormente por
e superiormente por 4.
Passo 3
Agora, vamos tentar trocar a ordem das integrais. Isso pode simplificar bastante a nossa vida. Para isso, precisamos ver os novos limites de integração quando
é a primeira variável.
-
varia de 0 até 4. - Para cada
, varia de 0 até (pois implica ).
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Como
não depende de
, podemos tratá-la como uma constante:
Então, a integral simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral em relação a
. Para isso, usamos a técnica de substituição. Vamos deixar bem claro:
- Seja
- Então,
ou seja,
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, integramos
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral dupla vale
.