Calcule a integral
I=integral0^2 integraly^2^4 raizx e^x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla:
I = integral0^2 integraly^2^4 raizx , e^x^2 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar um substituição simples na hora de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que y vai de 0 até 2, e para cada y, x vai de y^2 até 4. Isso significa que estamos integrando sobre uma área onde x está limitado inferiormente por y^2 e superiormente por 4.

Passo 3

Agora, vamos tentar trocar a ordem das integrais. Isso pode simplificar bastante a nossa vida. Para isso, precisamos ver os novos limites de integração quando x é a primeira variável.
  • x varia de 0 até 4.
  • Para cada x, y varia de 0 até raizx (pois y^2 <= x implica y <= raizx).
Então, a integral fica:
I = integral0^4 integral0^raizx raizx , e^x^2 , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a y. Como raizx , e^x^2 não depende de y, podemos tratá-la como uma constante:
integral0^raizx raizx , e^x^2 , dy = raizx , e^x^2 cdot raizx = x , e^x^2
Então, a integral simplifica para:
I = integral0^4 x , e^x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em relação a x. Para isso, usamos a técnica de substituição. Vamos deixar bem claro:
  • Seja u = x^2
  • Então, du = 2x , dx ou seja, x , dx = du2
Substituindo na integral:
I = integralu=0^u=16 e^u cdot du2 = 12 integral0^16 e^u , du

Passo 6

Agora, integramos e^u:
12 integral0^16 e^u , du = 12 [ e^u ]0^16 = 12 (e^16 - e^0)
Sabemos que e^0 = 1, então:
I = 12 (e^16 - 1)

Resposta

A integral dupla vale dfrace^16 - 12.

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