As trajetórias são elipses? Justifique.
a) { dx/dt = x + 2y dy/dt = -x - y }
b) {x' = x \\ y' = -y}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se as trajetórias dos sistemas de equações diferenciais dados são elipses. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, autovalores e autovetores. Vamos analisar cada parte separadamente para facilitar.

Passo 2

Parte a)
Temos o sistema:
Para descobrir se as trajetórias são elipses, precisamos verificar a natureza dos autovalores desse sistema.

Passo 3

Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes:
Agora, encontramos os autovalores ( ) resolvendo o determinante :
Calculando o determinante:
Então, temos:
Os autovalores são puramente imaginários, e .

Passo 4

Quando os autovalores são complexos puros (sem parte real), isso indica que o sistema tem um centro, ou seja, as soluções descrevem trajetórias fechadas como círculos ou elipses. Portanto, para o sistema da parte a), as trajetórias são elipses.

Passo 5

Parte b)
Agora, analisamos o sistema:
Vamos fazer a mesma análise de autovalores.

Passo 6

A matriz dos coeficientes é:
Os autovalores são os elementos da diagonal, já que a matriz é diagonal:
Portanto, temos autovalores reais e de sinais opostos.

Passo 7

Quando os autovalores são reais e de sinais opostos, o sistema possui um ponto de sela, e as trajetórias não são fechadas; elas são hipérbolas. Assim, para o sistema da parte b), as trajetórias não são elipses.

Resposta

a) Sim, as trajetórias são elipses.
b) Não, as trajetórias não são elipses.

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