Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se as trajetórias dos sistemas de equações diferenciais dados são elipses. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, autovalores e autovetores. Vamos analisar cada parte separadamente para facilitar.
Passo 2
Parte a)
Temos o sistema:
Para descobrir se as trajetórias são elipses, precisamos verificar a natureza dos autovalores desse sistema.
Passo 3
Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes:
Agora, encontramos os autovalores () resolvendo o determinante :
Calculando o determinante:
Então, temos:
Os autovalores são puramente imaginários, e .
Passo 4
Quando os autovalores são complexos puros (sem parte real), isso indica que o sistema tem um centro, ou seja, as soluções descrevem trajetórias fechadas como círculos ou elipses. Portanto, para o sistema da parte a), as trajetórias são elipses.
Passo 5
Parte b)
Agora, analisamos o sistema:
Vamos fazer a mesma análise de autovalores.
Passo 6
A matriz dos coeficientes é:
Os autovalores são os elementos da diagonal, já que a matriz é diagonal:
Portanto, temos autovalores reais e de sinais opostos.
Passo 7
Quando os autovalores são reais e de sinais opostos, o sistema possui um ponto de sela, e as trajetórias não são fechadas; elas são hipérbolas. Assim, para o sistema da parte b), as trajetórias não são elipses.