Calcule as integrais abaixo:
integral tg^5 x sec ^7 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente tangente ( ) e secante ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão tan^5 x sec^7 x = tan^4 x cdot tan x sec^7 x = (tan^2 x)^2 cdot tan x sec^7 x = (sec^2 x - 1)^2 cdot tan x sec^7 x de uma forma que facilite a substituição. Sabemos que . Vamos separar um fator de para ajudar na substituição:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = sec x
Então, a derivada de dudx = sec x tan x implies du = sec x tan x , dx em relação a é:
Observamos que temos na nossa expressão, que corresponde a .

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
integral (sec^2 x - 1)^2 cdot tan x sec^7 x , dx = integral (u^2 - 1)^2 cdot u^6 cdot du
Aqui, e .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão (u^2 - 1)^2 cdot u^6 = (u^4 - 2u^2 + 1) cdot u^6 = u^10 - 2u^8 + u^6 :
integral (u^10 - 2u^8 + u^6) , du
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral u^10 , du = u^1111 integral -2u^8 , du = -2 cdot u^99 integral u^6 , du = u^77
Então, a solução da integral é:
u^1111 - 2u^99 + u^77 + C

Passo 7

Agora, vamos substituir (sec x)^1111 - 2(sec x)^99 + (sec x)^77 + C de volta na expressão:
sec^11 x11 - 2 sec^9 x9 + sec^7 x7 + C
Podemos simplificar a notação:

Resposta

A integral sec^11 x11 - 2 sec^9 x9 + sec^7 x7 + C é igual a:

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