Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente tangente ( ) e secante ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a substituição. Sabemos que . Vamos separar um fator de para ajudar na substituição:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Observamos que temos na nossa expressão, que corresponde a .

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Então, a solução da integral é:

Passo 7

Agora, vamos substituir de volta na expressão:
Podemos simplificar a notação:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais:
Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo: