Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
integral x^5 raiz25-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^5 raiz25-x^2 , dx usando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de binômios do tipo a^2 - x^2. Para isso, vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e como fazer a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na forma raiza^2 - x^2. Aqui, a = 5, então podemos fazer a substituição trigonométrica x = 5 sin theta. Com isso, o diferencial dx se torna dx = 5 cos theta , dtheta.

Passo 3

Agora, substituímos x e dx na integral:
integral x^5 raiz25 - x^2 , dx = integral (5 sin theta)^5 raiz25 - (5 sin theta)^2 cdot 5 cos theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz25 - 25 sin^2 theta = raiz25(1 - sin^2 theta) = 5 cos theta
Então, a integral fica:
integral 5^5 sin^5 theta cdot 5 cos theta cdot 5 cos theta , dtheta = 5^7 integral sin^5 theta cos^2 theta , dtheta

Passo 4

Vamos simplificar a constante:
5^7 = 78125
Então, a integral agora é:
78125 integral sin^5 theta cos^2 theta , dtheta
Para resolver essa integral, vamos usar a identidade sin^2 theta = 1 - cos^2 theta, o que nos ajudará a reduzir o expoente de seno.

Passo 5

Reescrevemos sin^5 theta como sin^4 theta cdot sin theta e aplicamos a identidade:
sin^4 theta = (sin^2 theta)^2 = (1 - cos^2 theta)^2
Então, a integral fica:
78125 integral (1 - cos^2 theta)^2 sin theta cos^2 theta , dtheta
Agora, fazemos uma substituição interna: seja u = cos theta, então du = -sin theta , dtheta, ou seja, -du = sin theta , dtheta.

Passo 6

Substituindo na integral:
78125 integral (1 - u^2)^2 u^2 (-du) = -78125 integral (1 - 2u^2 + u^4) u^2 , du
Distribuindo u^2:
-78125 integral (u^2 - 2u^4 + u^6) , du
Integrando cada termo:
-78125 ( u^33 - 2u^55 + u^77 ) + C

Passo 7

Agora, substituímos u = cos theta de volta:
-78125 ( cos^3 theta3 - 2cos^5 theta5 + cos^7 theta7 ) + C
Mas queremos expressar a resposta em termos de x. Lembrando que x = 5 sin theta, então cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - x^225 = raiz25 - x^25.

Passo 8

Substituindo cos theta:
-78125 ( (raiz25 - x^25)^33 - 2(raiz25 - x^25)^55 + (raiz25 - x^25)^77 ) + C
Simplificando os expoentes e coeficientes:
-78125 ( (25 - x^2)^3/23 cdot 125 - 2(25 - x^2)^5/25 cdot 3125 + (25 - x^2)^7/27 cdot 78125 ) + C
Simplificando ainda mais:
-625 ( (25 - x^2)^3/23 - 2(25 - x^2)^5/215 + (25 - x^2)^7/2546 ) + C

Resposta

A integral integral x^5 raiz25 - x^2 , dx é igual a:
-625 ( (25 - x^2)^3/23 - 2(25 - x^2)^5/215 + (25 - x^2)^7/2546 ) + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados