Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de binômios do tipo . Para isso, vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e como fazer a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na forma . Aqui, , então podemos fazer a substituição trigonométrica . Com isso, o diferencial se torna .

Passo 3

Agora, substituímos e na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a constante:
Então, a integral agora é:
Para resolver essa integral, vamos usar a identidade , o que nos ajudará a reduzir o expoente de seno.

Passo 5

Reescrevemos como e aplicamos a identidade:
Então, a integral fica:
Agora, fazemos uma substituição interna: seja , então , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral:
Distribuindo :
Integrando cada termo:

Passo 7

Agora, substituímos de volta:
Mas queremos expressar a resposta em termos de . Lembrando que , então .

Passo 8

Substituindo :
Simplificando os expoentes e coeficientes:
Simplificando ainda mais:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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