Utilize substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de binômios do tipo . Para isso, vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e como fazer a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na forma . Aqui, , então podemos fazer a substituição trigonométrica . Com isso, o diferencial se torna .
Passo 3
Agora, substituímos e na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar a constante:
Então, a integral agora é:
Para resolver essa integral, vamos usar a identidade , o que nos ajudará a reduzir o expoente de seno.
Passo 5
Reescrevemos como e aplicamos a identidade:
Então, a integral fica:
Agora, fazemos uma substituição interna: seja , então , ou seja, .
Passo 6
Substituindo na integral:
Distribuindo :
Integrando cada termo:
Passo 7
Agora, substituímos de volta:
Mas queremos expressar a resposta em termos de . Lembrando que , então .