Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral:
Para isso, vamos usar duas técnicas de cálculo: substituição e integração por partes. A substituição vai nos ajudar a simplificar a integral, e a integração por partes vai ser útil para resolver a parte que restar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olha só:
Vamos deixar . Isso facilita porque o expoente do é exatamente .
Agora, precisamos encontrar . Derivando em relação a :
Isso significa que:

Passo 3

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos:
Originalmente, temos:
Podemos reescrever como :
Agora, substituindo e :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
Para isso, usamos a integração por partes, que é uma técnica baseada na fórmula:
Vamos escolher:
  • (simples, mas é só uma escolha aqui)
Então, precisamos encontrar e :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
Factorando:
Lembrando que :

Resposta

A integral calculada é:
Onde é a constante de integração.

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