Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais:
integral x^5 e^-x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral:
integral x^5 e^-x^3 , dx
Para isso, vamos usar duas técnicas de cálculo: substituição e integração por partes. A substituição vai nos ajudar a simplificar a integral, e a integração por partes vai ser útil para resolver a parte que restar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olha só:
Vamos deixar du = ddx(x^3) , dx = 3x^2 , dx . Isso facilita porque o expoente do x^2 , dx = du3 é exatamente .
Agora, precisamos encontrar . Derivando em relação a :
Isso significa que:

Passo 3

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos:
Originalmente, temos:
integral x^5 e^-x^3 , dx
Podemos reescrever integral x^3 cdot x^2 e^-x^3 , dx como integral x^3 cdot e^-u cdot du3 :
13 integral u cdot e^-u , du
Agora, substituindo e :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
13 integral u cdot e^-u , du
Para isso, usamos a integração por partes, que é uma técnica baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • (simples, mas é só uma escolha aqui)
Então, precisamos encontrar e :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u cdot e^-u , du = uv - integral v , du = (-u e^-u) - integral (-e^-u) , du
Simplificando:
- u e^-u + integral e^-u , du = - u e^-u - e^-u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
13 integral u cdot e^-u , du = 13 ( -u e^-u - e^-u ) + C
Factorando:
-13 e^-u (u + 1) + C
Lembrando que -13 e^-x^3 (x^3 + 1) + C :

Resposta

A integral calculada é:
integral x^5 e^-x^3 , dx = -13 (x^3 + 1) e^-x^3 + C
Onde é a constante de integração.

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