Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
integral raiz[3]1+x^3 x^8 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de raiz[3]1+x^3 , x^8 , dx usando substituição. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável u, o que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz cúbica: 1 + x^3. Essa expressão parece um bom candidato para a substituição, já que sua derivada está relacionada com o restante da função. Vamos definir:
u = 1 + x^3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx. Calculando a derivada:
dudx = 3x^2
Isso nos dá:
du = 3x^2 , dx Rightarrow x^2 , dx = du3

Passo 4

Vamos agora reescrever a integral original em termos de u. Observamos que x^8 pode ser reescrito como (x^3)^2 cdot x^2, ou seja:
x^8 = x^6 cdot x^2 = (x^3)^2 cdot x^2
Substituindo na integral:
integral raiz[3]u cdot (x^3)^2 cdot x^2 , dx
Mas sabemos que u = 1 + x^3, então x^3 = u - 1. Substituindo:
integral raiz[3]u cdot (u - 1)^2 cdot du3
Simplificando:
13 integral u^1/3 (u - 1)^2 , du

Passo 5

Vamos expandir (u - 1)^2 para facilitar a multiplicação:
(u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1
Então, a integral fica:
13 integral u^1/3 (u^2 - 2u + 1) , du = 13 integral ( u^7/3 - 2u^4/3 + u^1/3 ) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^7/3 , du = u^10/310/3 = 310 u^10/3
integral u^4/3 , du = u^7/37/3 = 37 u^7/3
integral u^1/3 , du = u^4/34/3 = 34 u^4/3
Substituindo de volta na integral:
13 ( 310 u^10/3 - 2 cdot 37 u^7/3 + 34 u^4/3 ) + C
Simplificando:
110 u^10/3 - 27 u^7/3 + 14 u^4/3 + C

Passo 7

Finalmente, vamos substituir u de volta para a variável original x:
u = 1 + x^3
Então, a solução final é:
110 (1 + x^3)^10/3 - 27 (1 + x^3)^7/3 + 14 (1 + x^3)^4/3 + C

Resposta

A integral é igual a:
110 (1 + x^3)^103 - 27 (1 + x^3)^73 + 14 (1 + x^3)^43 + C

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