Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de usando substituição. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável , o que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz cúbica: . Essa expressão parece um bom candidato para a substituição, já que sua derivada está relacionada com o restante da função. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o . Calculando a derivada:
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos agora reescrever a integral original em termos de . Observamos que pode ser reescrito como , ou seja:
Substituindo na integral:
Mas sabemos que , então . Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Vamos expandir para facilitar a multiplicação:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, vamos substituir de volta para a variável original :
Então, a solução final é:

Resposta

A integral é igual a:

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Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais:
Calcule as integrais abaixo: