Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
usando substituição. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável
, o que vai simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz cúbica:
. Essa expressão parece um bom candidato para a substituição, já que sua derivada está relacionada com o restante da função. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o
. Calculando a derivada:
Isso nos dá:
Passo 4
Vamos agora reescrever a integral original em termos de
. Observamos que
pode ser reescrito como
, ou seja:
Substituindo na integral:
Mas sabemos que
, então
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Vamos expandir
para facilitar a multiplicação:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, vamos substituir
de volta para a variável original
:
Então, a solução final é:
Resposta
A integral é igual a:
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Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais:
Calcule as integrais abaixo: