Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:
integral x^3+4 x^2-8 x-1x^3+x^2-5 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é:
integral x^3+4 x^2-8 x-1x^3+x^2-5 x+3 , dx
Aqui, vamos usar o Teorema de Decomposição em Frações Parciais, que ajuda a simplificar integrais racionais (ou seja, quocientes de polinômios). Precisamos fatorar o denominador e expressar a fração como a soma de frações mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os polinômios no numerador e denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Notamos que ambos são polinômios de grau 3. Antes de aplicar a decomposição, vamos verificar se o numerador e o denominador têm algum fator comum ou se precisamos fazer uma divisão algébrica.

Passo 3

Vamos tentar realizar a divisão do numerador pelo denominador para simplificar a expressão. Isso porque os graus dos polinômios são iguais.
Dividindo x^3+4x^2-8x-1x^3+x^2-5x+3 = 1 + 3x^2-3x-4x^3+x^2-5x+3 por integral (1 + 3x^2-3x-4x^3+x^2-5x+3) , dx = integral 1 , dx + integral 3x^2-3x-4x^3+x^2-5x+3 , dx :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos focar na fração 1^3+1^2-5(1)+3 = 1 +1 -5 +3 =0 . Precisamos fatorar o denominador para decompor essa fração em frações parciais.
Primeiro, vamos fatorar x^3+x^2-5x+3 = (x -1)(x^2+2x-3) .
Testando possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, testamos x^2+2x-3 = (x +3)(x -1) :
x^3+x^2-5x+3 = (x -1)^2(x +3)
Então, é uma raiz, e é um fator.
Dividindo por :
Agora, fatorando :
Então, o denominador fatorado é:

Passo 5

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração como:
3x^2-3x-4(x -1)^2(x +3) = Ax -1 + B(x -1)^2 + Cx +3
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 3x^2-3x-4 = A(x -1)(x +3) + B(x +3) + C(x -1)^2 para eliminar os denominadores:
3x^2-3x-4 = A(x^2+2x-3) + B(x +3) + C(x^2-2x+1)
Vamos expandir e simplificar:
3x^2-3x-4 = A x^2 + 2A x -3A + B x +3B + C x^2 -2C x + C
Distribuindo os termos:
3x^2-3x-4 = (A + C) x^2 + (2A + B -2C) x + (-3A +3B + C)
Agrupando termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
  1. Para A + C = 3 :
2A + B -2C = -3
  1. Para -3A +3B + C = -4 :
A + C = 3 2A + B -2C = -3 -3A +3B + C = -4
  1. Para o termo constante:
Temos um sistema de três equações:

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
Primeira equação: 2(3 - C) + B -2C = -3 6 -2C + B -2C = -3 B -4C = -9 B = 4C -9
Substituindo -3(3 - C) + 3(4C -9) + C = -4 -9 +3C +12C -27 + C = -4 16C -36 = -4 16C = 32 C = 2 na segunda equação:
A = 3 -2 =1
Agora, substituindo B =4(2) -9 =8 -9 = -1 e na terceira equação:
Agora, encontramos .
Substituindo em :
E em :
Então, , , .

Passo 9

Agora, substituindo os valores de 3x^2-3x-4(x -1)^2(x +3) = 1x -1 + -1(x -1)^2 + 2x +3 , 3x^2-3x-4(x -1)^2(x +3) = 1x -1 - 1(x -1)^2 + 2x +3 e na decomposição:
Simplificando:

Passo 10

Agora, voltamos à integral original:
integral (1 + 1x -1 - 1(x -1)^2 + 2x +3) , dx
Vamos integrar termo a termo.

Passo 11

Integrando cada termo:

Passo 12

Juntando todas as integrais:
x + ln|x -1| + 1x -1 + 2 ln|x +3| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

x + ln|x -1| + 1x -1 + 2 ln|x +3| + C

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