Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é:
Aqui, vamos usar o Teorema de Decomposição em Frações Parciais, que ajuda a simplificar integrais racionais (ou seja, quocientes de polinômios). Precisamos fatorar o denominador e expressar a fração como a soma de frações mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os polinômios no numerador e denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Notamos que ambos são polinômios de grau 3. Antes de aplicar a decomposição, vamos verificar se o numerador e o denominador têm algum fator comum ou se precisamos fazer uma divisão algébrica.

Passo 3

Vamos tentar realizar a divisão do numerador pelo denominador para simplificar a expressão. Isso porque os graus dos polinômios são iguais.
Dividindo por :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos focar na fração . Precisamos fatorar o denominador para decompor essa fração em frações parciais.
Primeiro, vamos fatorar .
Testando possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, testamos :
Então, é uma raiz, e é um fator.
Dividindo por :
Agora, fatorando :
Então, o denominador fatorado é:

Passo 5

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração como:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Vamos expandir e simplificar:
Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para o termo constante:
Temos um sistema de três equações:

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Agora, encontramos .
Substituindo em :
E em :
Então, , , .

Passo 9

Agora, substituindo os valores de , e na decomposição:
Simplificando:

Passo 10

Agora, voltamos à integral original:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 11

Integrando cada termo:

Passo 12

Juntando todas as integrais:
Onde é a constante de integração.

Resposta

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