Calcule as integrais abaixo: integral tg^3 xcos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral tg^3 xcos ^3 x , dx. Basicamente, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente a tangente e o cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e simplificação de expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de tangente. Sabemos que tg x = sin xcos x. Então, substituindo isso na integral, temos:
integral (sin xcos x)^3cos^3 x , dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Elevando a fração ao cubo:
(sin xcos x)^3 = sin^3 xcos^3 x
Substituindo de volta na integral:
integral sin^3 xcos^3 x cdot 1cos^3 x , dx = integral sin^3 xcos^6 x , dx

Passo 4

Perceba que sin^3 x pode ser escrito como sin^2 x cdot sin x. E sabemos que sin^2 x = 1 - cos^2 x. Então, substituindo:
integral (1 - cos^2 x) cdot sin xcos^6 x , dx

Passo 5

Agora, vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar u = cos x. Então, a derivada de u em relação a x é:
du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx

Passo 6

Substituindo u e du na integral:
integral 1 - u^2u^6 cdot (-du) = -integral 1 - u^2u^6 , du
Podemos separar a fração:
-integral ( 1u^6 - u^2u^6 ) , du = -integral ( u^-6 - u^-4 ) , du

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de u^n é u^n+1n+1, desde que n neq -1. Aplicando isso:
-( u^-5-5 - u^-3-3 ) + C = ( u^-55 - u^-33 ) + C

Passo 8

Substituindo u = cos x de volta na expressão:
cos^-5 x5 - cos^-3 x3 + C = 15 cos^5 x - 13 cos^3 x + C

Resposta

A integral integral tg^3 xcos ^3 x , dx é igual a:
15 cos^5 x - 13 cos^3 x + C
onde C é a constante de integração.

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