Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Basicamente, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente a tangente e o cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e simplificação de expressões trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de tangente. Sabemos que
. Então, substituindo isso na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Elevando a fração ao cubo:
Substituindo de volta na integral:
Passo 4
Perceba que
pode ser escrito como
. E sabemos que
. Então, substituindo:
Passo 5
Agora, vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Substituindo
e
na integral:
Podemos separar a fração:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
é
, desde que
. Aplicando isso:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.