Encontre os pontos críticos, os pontos de máximo ou mínimo locais e os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, onde f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 1.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos a função e precisamos encontrar:
  • Pontos críticos: onde a derivada de é zero ou não existe.
  • Pontos de máximo ou mínimo locais: usando os pontos críticos para determinar se são picos ou vales.
  • Intervalos de crescimento e decrescimento: onde a função está aumentando ou diminuindo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas da cálculo diferencial.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar os pontos críticos é calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A derivada de é calculada termo a termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos para :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Agora, resolvemos a equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e :
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais, vamos analisar a derivada segunda, . A derivada segunda nos diz sobre a concavidade da função:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
Como a derivada segunda é positiva, é um ponto de mínimo local.
  • Para :
Como a derivada segunda é negativa, é um ponto de máximo local.

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Olhando para a derivada , sabemos que:
  • Se , a função está crescente.
  • Se , a função está decrescente.
Sabemos que a derivada muda de sinal nos pontos críticos e . Vamos testar valores em cada intervalo determinado por esses pontos:
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, a função está crescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, a função está decrescente nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, a função está crescente nesse intervalo.

Resposta

Os pontos críticos da função são (mínimo local) e (máximo local). A função é crescente nos intervalos e , e decrescente no intervalo .

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