Encontre os pontos críticos, os pontos de máximo ou mínimo locais e os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente, onde
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos a função
e precisamos encontrar:
- Pontos críticos: onde a derivada de
é zero ou não existe. - Pontos de máximo ou mínimo locais: usando os pontos críticos para determinar se são picos ou vales.
- Intervalos de crescimento e decrescimento: onde a função está aumentando ou diminuindo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas da cálculo diferencial.
Passo 2
O primeiro passo para encontrar os pontos críticos é calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A derivada de
é calculada termo a termo:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos para
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Agora, resolvemos a equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais, vamos analisar a derivada segunda,
. A derivada segunda nos diz sobre a concavidade da função:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como a derivada segunda é positiva,
é um ponto de mínimo local.
- Para
:
Como a derivada segunda é negativa,
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Olhando para a derivada
, sabemos que:
- Se
, a função está crescente. - Se
, a função está decrescente.
Sabemos que a derivada muda de sinal nos pontos críticos
e
. Vamos testar valores em cada intervalo determinado por esses pontos:
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então, a função está crescente nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então, a função está decrescente nesse intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então, a função está crescente nesse intervalo. - Escolha
Resposta
Os pontos críticos da função
são
(mínimo local) e
(máximo local). A função é crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
.