Calcule as integrais abaixo: integral0^2 1raizt^2+4 d t

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a integral definida de de até . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração de funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula de integração para funções da forma .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da integral que temos:
integral 1raizt^2 + 4 , dt
Aqui, podemos ver que integral 1raizt^2 + a^2 , dt = ln | t + raizt^2 + a^2 | + C , então . A fórmula de integração para uma função assim é:
Onde é a constante de integração. No nosso caso, como a integral é definida, não precisamos nos preocupar com a constante.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa integral. Substituindo integral0^2 1raizt^2 + 4 , dt = ln ( t + raizt^2 + 4 ) |0^2 :
Isso significa que vamos calcular a expressão nos limites de 0 a 2.

Passo 4

Vamos calcular para ln ( 2 + raiz2^2 + 4 ) = ln ( 2 + raiz4 + 4 ) = ln ( 2 + raiz8 ) :
ln ( 2 + 2raiz2 )
Sabemos que ln ( 0 + raiz0^2 + 4 ) = ln ( raiz4 ) = ln(2) , então:
Agora, para :

Passo 5

Agora, vamos subtrair os valores obtidos nos limites:
ln ( 2 + 2raiz2 ) - ln(2) = ln ( 2 + 2raiz22 ) = ln ( 1 + raiz2 )

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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