Resolva a equação da onda
a^2 partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2, 00
sujeita às condições indicadas.
a) lu(0, t)=u(L, t)=0 u(x, 0)=14 x(L-x),partial upartial t|t=0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação da onda que é assim:
a^2 partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < L, , t > 0
Temos também as condições de contorno e iniciais:
  • Condições de contorno:
  • Condições iniciais:
Vamos usar o método da separação de variáveis e expandir a solução em séries de Fourier para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução u(x, t) = X(x) T(t) pode ser escrita como um produto de funções que dependem só de a^2 X''(x) T(t) = X(x) T''(t) e só de a^2 X''(x)X(x) = T''(t)T(t) = -lambda :
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 3

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para X''(x) + lambdaa^2 X(x) = 0 :
T''(t) + lambda T(t) = 0
  1. Para :
Vamos resolver a equação de primeiro, aplicando as condições de contorno .

Passo 4

A solução geral para X(x) = A sin(npi xL) é:
lambda = (npi aL)^2
onde é um inteiro positivo e está relacionada a por:
Essas são as frequências permitidas que satisfazem as condições de contorno.

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para T''(t) + (npi aL)^2 T(t) = 0 :
T(t) = B cos(npi aL t) + C sin(npi aL t)
A solução geral é:

Passo 6

Assim, a solução completa para cada modo un(x, t) = An sin(npi xL) [ Bn cos(npi aL t) + Cn sin(npi aL t) ] é:
un(x, t) = An sin(npi xL) cos(npi aL t)
Para simplificar, consideramos e embutidos em , então podemos escrever:
pois a condição inicial da velocidade é zero.

Passo 7

A solução geral é a soma de todos os modos u(x, t) = sumn=1^infty An sin(npi xL) cos(npi aL t) :
Precisamos determinar os coeficientes usando a condição inicial .

Passo 8

Aplicando u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(npi xL) = 14 x(L - x) na solução geral:
An = 2L integral0^L 14 x(L - x) sin(npi xL) dx
Para encontrar , usamos a série de Fourier para expandir em termos de senos:

Passo 9

Calcular a integral para An = 12L integral0^L x(L - x) sin(npi xL) dx :
Esse tipo de integral geralmente é resolvido por partes ou usando tabelas de integrais.

Passo 10

Após calcular a integral, encontramos os coeficientes u(x, t) = sumn=1^infty An sin(npi xL) cos(npi aL t) . A solução final fica:
onde os são determinados conforme calculado na etapa anterior.

Resposta

A solução da equação da onda dada pelas condições fornecidas é:
u(x, t) = sumn=1^infty An sin(npi xL) cos(npi aL t)
com os coeficientes An = 12L integral0^L x(L - x) sin(npi xL) dx definidos por:

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