Utilizando coordenadas esféricas, calcule a integral
em que
é o sólido interior à esfera
, exterior à esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A gente vai precisar entender como transformar a integral para essas coordenadas e definir os limites de integração com base nas superfícies que delimitam a região
. No caso,
está entre duas esferas, acima do plano
e abaixo de um cone. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas esféricas:
E o elemento de volume
em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando. A integral dada é:
Sabendo que
e
, a função fica:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. As esferas são
e
. O plano
corresponde a
, mas como estamos acima desse plano e abaixo do cone
, o cone em coordenadas esféricas é
.
Portanto, os limites são:
-
de 1 a 2 -
de 0 a -
de 0 a
Passo 5
Agora, montamos a integral em coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
. Podemos usar uma substituição simples:
A integral se torna:
Então, a integral agora é:
Resposta
O valor da integral é
.