Utilizando coordenadas esféricas, calcule a integral
I=integral triplaE z(x^2+y^2+z^2) d V
em que E é o sólido interior à esfera x^2+y^2+z^2=4, exterior à esfera x^2+y^2+z^2=1, acima do plano z=0 e abaixo do cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A gente vai precisar entender como transformar a integral para essas coordenadas e definir os limites de integração com base nas superfícies que delimitam a região . No caso, está entre duas esferas, acima do plano e abaixo de um cone. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas esféricas:
x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi
E o elemento de volume dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando. A integral dada é:
I = integral triplaE zx^2+y^2+z^2 , dV
Sabendo que zx^2+y^2+z^2 = r cosphir^2 = cosphir e , a função fica:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. As esferas são e . O plano corresponde a , mas como estamos acima desse plano e abaixo do cone , o cone em coordenadas esféricas é .
Portanto, os limites são:
  • de 1 a 2
  • de 0 a
  • de 0 a

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas esféricas:
I = integral0^2pi integral0^pi4 integral1^2 cosphir cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
I = integral0^2pi integral0^pi4 integral1^2 r cosphi sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral1^2 r , dr = [ r^22 ]1^2 = 42 - 12 = 32 :
I = 32 integral0^2pi integral0^pi4 cosphi sinphi , dphi , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a u = cosphi Rightarrow du = -sinphi , dphi . Podemos usar uma substituição simples:
integral0^pi4 cosphi sinphi , dphi = -integral1^raiz22 u , du = -[ u^22 ]1^raiz22 = -( 14 - 12 ) = 14
A integral se torna:
I = 32 cdot 14 integral0^2pi , dtheta = 38 cdot 2pi = 3pi4
Então, a integral agora é:

Resposta

O valor da integral é .

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