Calcule as integrais abaixo
integral e^theta sen theta d theta

Passo 1

Beleza, temos a integral . Vamos resolver isso usando integração por partes, uma técnica que ajuda quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral para aplicar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Escolhemos:
  • (porque a derivada de é simples)
Agora, calculamos e :
  • (derivando )
  • (integrando , já que )

Passo 3

Aplicando a fórmula:
integral e^theta sin theta , dtheta = u , v - integral v , du
Substituindo os valores:
integral e^theta sin theta , dtheta = e^theta (-cos theta) - integral (-cos theta) e^theta , dtheta
Simplificando:
integral e^theta sin theta , dtheta = -e^theta cos theta + integral e^theta cos theta , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos resolver integral e^theta cos theta , dtheta = e^theta sin theta - integral e^theta sin theta , dtheta . Vamos usar novamente a integração por partes:
Escolhemos:
  • integral e^theta sin theta , dtheta = -e^theta cos theta + e^theta sin theta - integral e^theta sin theta , dtheta
  • 2 integral e^theta sin theta , dtheta = e^theta (sin theta - cos theta)
Então:
  • integral e^theta sin theta , dtheta = e^theta2 (sin theta - cos theta) + C
  • (porque )
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na equação anterior:
Agora, somamos dos dois lados para isolar a integral:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

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