Calcule as integrais abaixo
integral x^3 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral u , dv = u , v - integral v , du . Aqui, estamos lidando com uma integração por partes, que é uma técnica importante em cálculo para integrar o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes:
Vamos identificar as partes da nossa integral para aplicar essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 , dx e dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x :
  • Escolha de : Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada. Aqui, , porque sua derivada será mais simples.
  • Escolha de : O que resta fica com , que é fácil de integrar.
Então, temos:

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x^3 e^x , dx = u , v - integral v , du = x^3 e^x - integral e^x cdot 3x^2 , dx
Simplificando:
integral x^3 e^x , dx = x^3 e^x - 3 integral x^2 e^x , dx
Perceba que agora temos uma nova integral , que também precisará de integração por partes.

Passo 4

Vamos resolver u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx usando integração por partes novamente. Definimos:
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x , dx = x^2 e^x - 2 integral x e^x , dx
Aplicando a fórmula:
integral x^3 e^x , dx = x^3 e^x - 3 ( x^2 e^x - 2 integral x e^x , dx )
Substituindo de volta na expressão anterior:
= x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6 integral x e^x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver u = x Rightarrow du = dx usando novamente a integração por partes:
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x
Aplicando a fórmula:
integral x^3 e^x , dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6 ( x e^x - e^x )
Substituindo de volta:
= x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6 e^x

Resposta

Portanto, a integral de integral x^3 e^x , dx = e^x ( x^3 - 3x^2 + 6x - 6 ) + C é:
onde é a constante de integração.

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