Calcule as integrais abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integração por partes, que é uma técnica importante em cálculo para integrar o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes:
Vamos identificar as partes da nossa integral para aplicar essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher
e
:
- Escolha de
: Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada. Aqui, , porque sua derivada será mais simples. - Escolha de
: O que resta fica com , que é fácil de integrar.
Então, temos:
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Perceba que agora temos uma nova integral
, que também precisará de integração por partes.
Passo 4
Vamos resolver
usando integração por partes novamente. Definimos:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 5
Agora, vamos resolver
usando novamente a integração por partes:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, a integral de
é:
onde
é a constante de integração.