Calcule as integrais
a) integral1^e^3 (ln (x))^2x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 1 até . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão usando uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = 1x dx . Assim, precisamos encontrar (ln(x))^2x dx = u^2 du em termos de .
Sabemos que a derivada de em relação a é , então:
Isso significa que pode ser reescrito em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos mudar os limites de integração para a nova variável u = ln(1) = 0 . Quando u = ln(e^3) = 3 :
integral0^3 u^2 du
E quando :
Portanto, a integral original se transforma em:

Passo 4

Vamos agora calcular essa integral mais simples. A integral de integral u^2 du = u^33 + C com respeito a u^33 |0^3 = 3^33 - 0^33 = 273 - 0 = 9 é:
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos avaliar entre os limites 0 e 3:

Resposta

A integral é igual a 9.

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